Cálculo Exemplos

$x d y + (x y + y - 1) d x = 0$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial para ajustá-la à técnica de equação diferencial exata.

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Etapa 1.1

Reescreva.

$(x y + y - 1) d x + x d y = 0$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = x y + y - 1$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y + y - 1]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x y + y - 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d y} [x y]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x y$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 2.4

Diferencie.

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Etapa 2.4.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 2.4.2

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 1$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 1 + 0$

Etapa 2.4.3

Some $x + 1$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 1$

Etapa 3

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = x$ .

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Etapa 3.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Etapa 4

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $x + 1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x + 1 = 1$

Etapa 4.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$x + 1 = 1$ não é uma identidade.

Etapa 5

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Etapa 5.1

Substitua $x + 1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{x + 1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Etapa 5.2

Substitua $1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{x + 1 - 1}{N}$

Etapa 5.3

Substitua $x$ por $N$ .

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Etapa 5.3.1

Substitua $x$ por $N$ .

$\frac{x + 1 - 1}{x}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.3.2.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{x + 0}{x}$

Etapa 5.3.2.2

Some $x$ e $0$ .

$\frac{x}{x}$

Etapa 5.3.3

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x}{x}$

Etapa 5.3.3.2

Reescreva a expressão.

$1$

Etapa 5.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int d x}$

Etapa 6

Avalie a integral $e^{\int d x}$ .

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Etapa 6.1

Aplique a regra da constante.

$μ (x, y) = e^{x + C}$

Etapa 6.2

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{x} + C$

Etapa 7

Multiplique ambos os lados de $(x y + y - 1) d x + x d y = 0$ pelo fator de integração $e^{x}$ .

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Etapa 7.1

Multiplique $x y + y - 1$ por $e^{x}$ .

$(x y + y - 1) e^{x} d x + x d y = 0$

Etapa 7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(x y e^{x} + y e^{x} - 1 e^{x}) d x + x d y = 0$

Etapa 7.3

Reescreva $- 1 e^{x}$ como $- e^{x}$ .

$(x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}) d x + x d y = 0$

Etapa 7.4

Multiplique $x$ por $e^{x}$ .

$(x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}) d x + x e^{x} d y = 0$

Etapa 8

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x e^{x} d y$

Etapa 9

Integre $N (x, y) = x e^{x}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 9.1

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = x e^{x} y + C$

Etapa 10

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = x e^{x} y + g (x)$

Etapa 11

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Etapa 12

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 12.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{x} y + g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Etapa 12.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x e^{x} y + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x e^{x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Etapa 12.3

Avalie $\frac{d}{d x} [x e^{x} y]$ .

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Etapa 12.3.1

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x e^{x} y$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Etapa 12.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$y (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Etapa 12.3.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$y (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Etapa 12.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$y (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Etapa 12.3.5

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$y (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Etapa 12.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$y (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d g}{d x} = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Etapa 12.5

Simplifique.

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Etapa 12.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y (x e^{x}) + y e^{x} + \frac{d g}{d x} = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Etapa 12.5.2

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} + e^{x} x y + e^{x} y = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Etapa 12.5.3

Reordene os fatores em $\frac{d g}{d x} + e^{x} x y + e^{x} y$ .

$\frac{d g}{d x} + x y e^{x} + y e^{x} = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Etapa 13

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 13.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 13.1.1

Subtraia $x y e^{x}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} + y e^{x} = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x} - x y e^{x}$

Etapa 13.1.2

Subtraia $y e^{x}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x} - x y e^{x} - y e^{x}$

Etapa 13.1.3

Combine os termos opostos em $x y e^{x} + y e^{x} - e^{x} - x y e^{x} - y e^{x}$ .

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Etapa 13.1.3.1

Subtraia $x y e^{x}$ de $x y e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0 + y e^{x} - e^{x} - y e^{x}$

Etapa 13.1.3.2

Some $0$ e $y e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = y e^{x} - e^{x} - y e^{x}$

Etapa 13.1.3.3

Subtraia $y e^{x}$ de $y e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0 - e^{x}$

Etapa 13.1.3.4

Subtraia $e^{x}$ de $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - e^{x}$

Etapa 14

Encontre a antiderivada de $- e^{x}$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 14.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = - e^{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - e^{x} d x$

Etapa 14.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - e^{x} d x$

Etapa 14.3

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$g (x) = - \int e^{x} d x$

Etapa 14.4

A integral de $e^{x}$ com relação a $x$ é $e^{x}$ .

$g (x) = - (e^{x} + C)$

Etapa 14.5

Simplifique.

$g (x) = - e^{x} + C$

Etapa 15

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = x e^{x} y + g (x)$ .

$f (x, y) = x e^{x} y - e^{x} + C$

Etapa 16

Reordene os fatores em $f (x, y) = x e^{x} y - e^{x} + C$ .

$f (x, y) = x y e^{x} - e^{x} + C$