Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 1}{x^{2}}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x^{2}}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $y^{2} + 1$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x^{2}}$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.2.1.1

Reordene $y^{2}$ e $1$ .

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 2.2.2

A integral de $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ com relação a $y$ é $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.3.1.1

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\arctan (y) + C_{1} = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Etapa 2.3.1.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.3.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Etapa 2.3.1.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} d x$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2}$

Etapa 2.3.3

Reescreva $- x^{- 1} + C_{2}$ como $- \frac{1}{x} + C_{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = - \frac{1}{x} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\arctan (y) = - \frac{1}{x} + K$

Etapa 3

Calcule o arco tangente inverso dos dois lados da equação para extrair $y$ de dentro do arco tangente.

$y = \tan (- \frac{1}{x} + K)$