Cálculo Exemplos

$3 \frac{d y}{d x} + \frac{3}{x} y = 2 x^{4} y^{4}$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial para se adequar à técnica de Bernoulli.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Divida cada termo em $3 \frac{d y}{d x} + \frac{3}{x} y = 2 x^{4} y^{4}$ por $3$ .

$\frac{3 \frac{d y}{d x}}{3} + \frac{\frac{3}{x} y}{3} = \frac{2 x^{4} y^{4}}{3}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \frac{d y}{d x}}{3} + \frac{\frac{3}{x} y}{3} = \frac{2 x^{4} y^{4}}{3}$

Etapa 1.2.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{\frac{3}{x} y}{3} = \frac{2 x^{4} y^{4}}{3}$

Etapa 1.3

Combine $\frac{3}{x}$ e $y$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3 y}{x} = \frac{2}{3} x^{4} y^{4}$

Etapa 1.4

Fatore $y$ de $\frac{1}{3} \cdot \frac{3 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x}) = \frac{2}{3} x^{4} y^{4}$

Etapa 1.5

Reordene $y$ e $\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} y = \frac{2}{3} x^{4} y^{4}$

Etapa 2

Para resolver a equação diferencial, deixe $v = y^{1 - n}$ , em que $n$ é o expoente de $y^{4}$ .

$v = y^{- 3}$

Etapa 3

Resolva a equação para $y$ .

$y = v^{- \frac{1}{3}}$

Etapa 4

Calcule a derivada de $y$ com relação a $x$ .

$y' = v^{- \frac{1}{3}}$

Etapa 5

Calcule a derivada de $v^{- \frac{1}{3}}$ com relação a $x$ .

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Etapa 5.1

Calcule a derivada de $v^{- \frac{1}{3}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{3}}]$

Etapa 5.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{3}}}]$

Etapa 5.3

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 1$ e $g (x) = v^{\frac{1}{3}}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{{(v^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 5.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 5.4.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{{(v^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 5.4.2

Multiplique os expoentes em ${(v^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

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Etapa 5.4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

Etapa 5.4.2.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $2$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.4.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.4.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.4.4.1

Multiplique $v^{\frac{1}{3}}$ por $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.4.4.2

Subtraia $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]$ de $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.4.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = v$ .

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Etapa 5.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $v$ .

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $v$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.7

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.9.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.9.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.11

Combine $\frac{1}{3}$ e $v^{- \frac{2}{3}}$ .

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.12

Mova $v^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3 v^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.13

Reescreva $\frac{d}{d x} [v]$ como $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3 v^{\frac{2}{3}}} v'}{v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.14

Combine $\frac{1}{3 v^{\frac{2}{3}}}$ e $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}}}{v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.15

Reescreva $\frac{\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}}}{v^{\frac{2}{3}}}$ como um produto.

$y' = - (\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{v^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 5.16

Multiplique $\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}}$ por $\frac{1}{v^{\frac{2}{3}}}$ .

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}} v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.17

Multiplique $v^{\frac{2}{3}}$ por $v^{\frac{2}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.17.1

Mova $v^{\frac{2}{3}}$ .

$y' = - \frac{v'}{3 (v^{\frac{2}{3}} v^{\frac{2}{3}})}$

Etapa 5.17.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

Etapa 5.17.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{2 + 2}{3}}}$

Etapa 5.17.4

Some $2$ e $2$ .

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 6

Substitua $- \frac{v'}{3 v^{\frac{4}{3}}}$ por $\frac{d y}{d x}$ e $v^{- \frac{1}{3}}$ por $y$ na equação original $\frac{d y}{d x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} y = \frac{2}{3} x^{4} y^{4}$ .

$- \frac{v'}{3 v^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{- \frac{1}{3}} = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$

Etapa 7

Resolva a equação diferencial substituída.

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Etapa 7.1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

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Etapa 7.1.1

Multiplique cada termo em $- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{- \frac{1}{3}} = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$ por $- (3 v^{\frac{4}{3}})$ para eliminar as frações.

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Etapa 7.1.1.1

Multiplique cada termo em $- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{- \frac{1}{3}} = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$ por $- (3 v^{\frac{4}{3}})$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 7.1.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.1.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.2.1.1

Cancele o fator comum de $3 v^{\frac{4}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.2.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}}$ para o numerador.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.1.2

Fatore $3 v^{\frac{4}{3}}$ de $- (3 v^{\frac{4}{3}})$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (3 v^{\frac{4}{3}} (- 1)) + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.1.3

Cancele o fator comum.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (3 v^{\frac{4}{3}} \cdot - 1) + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.1.4

Reescreva a expressão.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.3

Multiplique $\frac{d v}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.4

Multiplique $v^{- \frac{1}{3}}$ por $v^{\frac{4}{3}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.2.1.4.1

Mova $v^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} (v^{\frac{4}{3}} v^{- \frac{1}{3}}) (- 1 \cdot (3)) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{\frac{4}{3} - \frac{1}{3}} (- 1 \cdot (3)) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{\frac{4 - 1}{3}} (- 1 \cdot (3)) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.4.4

Subtraia $1$ de $4$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{\frac{3}{3}} (- 1 \cdot (3)) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.4.5

Divida $3$ por $3$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{1} (- 1 \cdot (3)) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.5

Simplifique $\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{1} (- 1 \cdot (3))$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v (- 1 \cdot (3)) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.6

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.2.1.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v (- 1 \cdot (3)) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.6.2

Reescreva a expressão.

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v (- 1 \cdot (3)) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.7

Combine $\frac{1}{x}$ e $v$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} (- 1 \cdot (3)) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.8

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} \cdot - 3 = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.9

Combine $\frac{v}{x}$ e $- 3$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v \cdot - 3}{x} = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.10

Mova $- 3$ para a esquerda de $v$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 3 \cdot v}{x} = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 7.1.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.3.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $x^{4}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = \frac{2 x^{4}}{3} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 7.1.1.3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 1 \cdot 3 \frac{2 x^{4}}{3} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Etapa 7.1.1.3.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.3.3.1

Fatore $3$ de $- 1 \cdot 3$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = 3 \cdot - 1 \frac{2 x^{4}}{3} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Etapa 7.1.1.3.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = 3 \cdot - 1 \frac{2 x^{4}}{3} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Etapa 7.1.1.3.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - (2 x^{4}) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Etapa 7.1.1.3.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.3.4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 2 x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Etapa 7.1.1.3.4.2

Multiplique os expoentes em ${(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.3.4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 2 x^{4} v^{- \frac{1}{3} \cdot 4} v^{\frac{4}{3}}$

Etapa 7.1.1.3.4.2.2

Multiplique $- \frac{1}{3} \cdot 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.3.4.2.2.1

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 2 x^{4} v^{- 4 (\frac{1}{3})} v^{\frac{4}{3}}$

Etapa 7.1.1.3.4.2.2.2

Combine $- 4$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 2 x^{4} v^{\frac{- 4}{3}} v^{\frac{4}{3}}$

Etapa 7.1.1.3.4.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 2 x^{4} v^{- \frac{4}{3}} v^{\frac{4}{3}}$

Etapa 7.1.1.3.5

Multiplique $v^{- \frac{4}{3}}$ por $v^{\frac{4}{3}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.3.5.1

Mova $v^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 2 x^{4} (v^{\frac{4}{3}} v^{- \frac{4}{3}})$

Etapa 7.1.1.3.5.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 2 x^{4} v^{\frac{4}{3} - \frac{4}{3}}$

Etapa 7.1.1.3.5.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 2 x^{4} v^{\frac{4 - 4}{3}}$

Etapa 7.1.1.3.5.4

Subtraia $4$ de $4$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 2 x^{4} v^{\frac{0}{3}}$

Etapa 7.1.1.3.5.5

Divida $0$ por $3$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 2 x^{4} v^{0}$

Etapa 7.1.1.3.6

Simplifique $- 2 x^{4} v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 2 x^{4}$

Etapa 7.1.2

Fatore $v$ de $- \frac{3 v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v (- \frac{3}{x}) = - 2 x^{4}$

Etapa 7.1.3

Reordene $v$ e $- \frac{3}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{3}{x} v = - 2 x^{4}$

Etapa 7.2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = - \frac{3}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Determine a integração.

$e^{\int - \frac{3}{x} d x}$

Etapa 7.2.2

Integre $- \frac{3}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{- \int \frac{3}{x} d x}$

Etapa 7.2.2.2

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$e^{- (3 \int \frac{1}{x} d x)}$

Etapa 7.2.2.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$e^{- 3 \int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 7.2.2.4

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$e^{- 3 (\ln (| x |) + C)}$

Etapa 7.2.2.5

Simplifique.

$e^{- 3 \ln (| x |) + C}$

Etapa 7.2.3

Remova a constante de integração.

$e^{- 3 \ln (x)}$

Etapa 7.2.4

Use a regra da multiplicação de potências logarítmica.

$e^{\ln (x^{- 3})}$

Etapa 7.2.5

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$x^{- 3}$

Etapa 7.2.6

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{3}}$

Etapa 7.3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $\frac{1}{x^{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Multiplique cada termo por $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{1}{x^{3}} \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x^{3}} (- \frac{3}{x} v) = \frac{1}{x^{3}} (- 2 x^{4})$

Etapa 7.3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.3.2.1

Combine $\frac{1}{x^{3}}$ e $\frac{d v}{d x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}} (- \frac{3}{x} v) = \frac{1}{x^{3}} (- 2 x^{4})$

Etapa 7.3.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}} (\frac{3}{x} v) = \frac{1}{x^{3}} (- 2 x^{4})$

Etapa 7.3.2.3

Combine $\frac{3}{x}$ e $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{3 v}{x} = \frac{1}{x^{3}} (- 2 x^{4})$

Etapa 7.3.2.4

Multiplique $- \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{3 v}{x}$ .

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Etapa 7.3.2.4.1

Multiplique $\frac{3 v}{x}$ por $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 v}{x \cdot x^{3}} = \frac{1}{x^{3}} (- 2 x^{4})$

Etapa 7.3.2.4.2

Multiplique $x$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.3.2.4.2.1

Multiplique $x$ por $x^{3}$ .

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Etapa 7.3.2.4.2.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 v}{x^{1} x^{3}} = \frac{1}{x^{3}} (- 2 x^{4})$

Etapa 7.3.2.4.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 v}{x^{1 + 3}} = \frac{1}{x^{3}} (- 2 x^{4})$

Etapa 7.3.2.4.2.2

Some $1$ e $3$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 v}{x^{4}} = \frac{1}{x^{3}} (- 2 x^{4})$

Etapa 7.3.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 v}{x^{4}} = - 2 \frac{1}{x^{3}} x^{4}$

Etapa 7.3.4

Combine $- 2$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 v}{x^{4}} = \frac{- 2}{x^{3}} x^{4}$

Etapa 7.3.5

Cancele o fator comum de $x^{3}$ .

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Etapa 7.3.5.1

Fatore $x^{3}$ de $x^{4}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 v}{x^{4}} = \frac{- 2}{x^{3}} (x^{3} x)$

Etapa 7.3.5.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 v}{x^{4}} = \frac{- 2}{x^{3}} (x^{3} x)$

Etapa 7.3.5.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 v}{x^{4}} = - 2 x$

Etapa 7.4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} v] = - 2 x$

Etapa 7.5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} v] d x = \int - 2 x d x$

Etapa 7.6

Integre o lado esquerdo.

$\frac{1}{x^{3}} v = \int - 2 x d x$

Etapa 7.7

Integre o lado direito.

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Etapa 7.7.1

Como $- 2$ é constante com relação a $x$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$\frac{1}{x^{3}} v = - 2 \int x d x$

Etapa 7.7.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{3}} v = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 7.7.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 7.7.3.1

Reescreva $- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$\frac{1}{x^{3}} v = - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Etapa 7.7.3.2

Simplifique.

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Etapa 7.7.3.2.1

Combine $- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x^{3}} v = \frac{- 2}{2} x^{2} + C$

Etapa 7.7.3.2.2

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 7.7.3.2.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{1}{x^{3}} v = \frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C$

Etapa 7.7.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.7.3.2.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{1}{x^{3}} v = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C$

Etapa 7.7.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{x^{3}} v = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

Etapa 7.7.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{x^{3}} v = \frac{- 1}{1} x^{2} + C$

Etapa 7.7.3.2.2.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{x^{3}} v = - x^{2} + C$

Etapa 7.8

Resolva $v$ .

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Etapa 7.8.1

Combine $\frac{1}{x^{3}}$ e $v$ .

$\frac{v}{x^{3}} = - x^{2} + C$

Etapa 7.8.2

Multiplique os dois lados por $x^{3}$ .

$\frac{v}{x^{3}} x^{3} = (- x^{2} + C) x^{3}$

Etapa 7.8.3

Simplifique.

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Etapa 7.8.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.8.3.1.1

Cancele o fator comum de $x^{3}$ .

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Etapa 7.8.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{v}{x^{3}} x^{3} = (- x^{2} + C) x^{3}$

Etapa 7.8.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$v = (- x^{2} + C) x^{3}$

Etapa 7.8.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.8.3.2.1

Simplifique $(- x^{2} + C) x^{3}$ .

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Etapa 7.8.3.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$v = - x^{2} x^{3} + C x^{3}$

Etapa 7.8.3.2.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.8.3.2.1.2.1

Mova $x^{3}$ .

$v = - (x^{3} x^{2}) + C x^{3}$

Etapa 7.8.3.2.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$v = - x^{3 + 2} + C x^{3}$

Etapa 7.8.3.2.1.2.3

Some $3$ e $2$ .

$v = - x^{5} + C x^{3}$

Etapa 8

Substitua $y^{- 3}$ por $v$ .

$y^{- 3} = - x^{5} + C x^{3}$