Cálculo Exemplos

$\frac{d h}{d t} = \frac{17.6 t}{\sqrt{17.6 t^{2} + 1}}$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d h = \frac{17.6 t}{\sqrt{17.6 t^{2} + 1}} d t$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d h = \int \frac{17.6 t}{\sqrt{17.6 t^{2} + 1}} d t$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$h + C_{1} = \int \frac{17.6 t}{\sqrt{17.6 t^{2} + 1}} d t$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $17.6$ é constante com relação a $t$ , mova $17.6$ para fora da integral.

$h + C_{1} = 17.6 \int \frac{t}{\sqrt{17.6 t^{2} + 1}} d t$

Etapa 2.3.2

Deixe $u = 17.6 t^{2} + 1$ . Depois, $d u = 35.2 t d t$ , então, $\frac{1}{35.2} d u = t d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.2.1

Deixe $u = 17.6 t^{2} + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Diferencie $17.6 t^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d t} [17.6 t^{2} + 1]$

Etapa 2.3.2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $17.6 t^{2} + 1$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [17.6 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [17.6 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

Etapa 2.3.2.1.3

Avalie $\frac{d}{d t} [17.6 t^{2}]$ .

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Etapa 2.3.2.1.3.1

Como $17.6$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $17.6 t^{2}$ em relação a $t$ é $17.6 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$17.6 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

Etapa 2.3.2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$17.6 (2 t) + \frac{d}{d t} [1]$

Etapa 2.3.2.1.3.3

Multiplique $2$ por $17.6$ .

$35.2 t + \frac{d}{d t} [1]$

Etapa 2.3.2.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.3.2.1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

$35.2 t + 0$

Etapa 2.3.2.1.4.2

Some $35.2 t$ e $0$ .

$35.2 t$

Etapa 2.3.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$h + C_{1} = 17.6 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{35.2} d u$

Etapa 2.3.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.3.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{u}}$ por $\frac{1}{35.2}$ .

$h + C_{1} = 17.6 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 35.2} d u$

Etapa 2.3.3.2

Mova $35.2$ para a esquerda de $\sqrt{u}$ .

$h + C_{1} = 17.6 \int \frac{1}{35.2 \sqrt{u}} d u$

Etapa 2.3.4

Como $\frac{1}{35.2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{35.2}$ para fora da integral.

$h + C_{1} = 17.6 (\frac{1}{35.2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Etapa 2.3.5

Combine frações.

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Etapa 2.3.5.1

Combine $\frac{1}{35.2}$ e $17.6$ .

$h + C_{1} = \frac{17.6}{35.2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 2.3.5.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.3.5.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$h + C_{1} = \frac{17.6}{35.2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Etapa 2.3.5.2.2

Mova $u^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$h + C_{1} = \frac{17.6}{35.2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Etapa 2.3.5.2.3

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.3.5.2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$h + C_{1} = \frac{17.6}{35.2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Etapa 2.3.5.2.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$h + C_{1} = \frac{17.6}{35.2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Etapa 2.3.5.2.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$h + C_{1} = \frac{17.6}{35.2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 2.3.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$h + C_{1} = \frac{17.6}{35.2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Etapa 2.3.7

Simplifique.

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Etapa 2.3.7.1

Reescreva $\frac{17.6}{35.2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ como $0.5 (2 u^{\frac{1}{2}}) + C_{2}$ .

$h + C_{1} = 0.5 (2 u^{\frac{1}{2}}) + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.7.2.1

Multiplique $2$ por $0.5$ .

$h + C_{1} = 1 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2.2

Multiplique $u^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$h + C_{1} = u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $17.6 t^{2} + 1$ .

$h + C_{1} = {(17.6 t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$h = {(17.6 t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + K$