Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{x (y - 3)}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Reagrupe os fatores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{y - 3} \cdot \frac{1}{x}$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{y - 3}{4 y}$ .

$\frac{y - 3}{4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 3}{4 y} (\frac{4 y}{y - 3} \cdot \frac{1}{x})$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Multiplique $\frac{4 y}{y - 3}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y - 3}{4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 3}{4 y} \cdot \frac{4 y}{(y - 3) x}$

Etapa 1.3.2

Cancele o fator comum de $y - 3$ .

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Etapa 1.3.2.1

Fatore $y - 3$ de $(y - 3) x$ .

$\frac{y - 3}{4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 3}{4 y} \cdot \frac{4 y}{(y - 3) (x)}$

Etapa 1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{y - 3}{4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 3}{4 y} \cdot \frac{4 y}{(y - 3) x}$

Etapa 1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{y - 3}{4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 y} \cdot \frac{4 y}{x}$

Etapa 1.3.3

Cancele o fator comum de $4 y$ .

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Etapa 1.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y - 3}{4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 y} \cdot \frac{4 y}{x}$

Etapa 1.3.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y - 3}{4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$\frac{y - 3}{4 y} d y = \frac{1}{x} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{y - 3}{4 y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $y$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} \int \frac{y - 3}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.2

Divida $y - 3$ por $y$ .

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Etapa 2.2.2.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$y$

$0$

$y$

$3$

Etapa 2.2.2.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $y$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $y$ .

					$1$
	$y$	+	$0$		$y$	-	$3$

Etapa 2.2.2.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$1$
$y$	+	$0$		$y$	-	$3$
			+	$y$	+	$0$

Etapa 2.2.2.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $y + 0$ .

				$1$
$y$	+	$0$		$y$	-	$3$
			-	$y$	-	$0$

Etapa 2.2.2.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$1$
$y$	+	$0$		$y$	-	$3$
			-	$y$	-	$0$
					-	$3$

Etapa 2.2.2.6

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\frac{1}{4} \int 1 - \frac{3}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{4} (\int d y + \int - \frac{3}{y} d y) = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.4

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{4} (y + C_{1} + \int - \frac{3}{y} d y) = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.5

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} (y + C_{1} - \int \frac{3}{y} d y) = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.6

Como $3$ é constante com relação a $y$ , mova $3$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} (y + C_{1} - (3 \int \frac{1}{y} d y)) = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.7

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{1}{4} (y + C_{1} - 3 \int \frac{1}{y} d y) = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.8

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\frac{1}{4} (y + C_{1} - 3 (\ln (| y |) + C_{2})) = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.9

Simplifique.

$\frac{1}{4} (y - 3 \ln (| y |)) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{4} (y - 3 \ln (| y |)) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\frac{1}{4} (y - 3 \ln (| y |)) = \ln (| x |) + C$