Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x + 2}{y^{2} - 1}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $y^{2} - 1$ .

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} - 1) \frac{3 x + 2}{y^{2} - 1}$

Etapa 1.2

Simplifique.

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Etapa 1.2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.2.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} - 1) \frac{3 x + 2}{y^{2} - 1^{2}}$

Etapa 1.2.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = y$ e $b = 1$ .

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} - 1) \frac{3 x + 2}{(y + 1) (y - 1)}$

Etapa 1.2.2

Multiplique $y^{2} - 1$ por $\frac{3 x + 2}{(y + 1) (y - 1)}$ .

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y^{2} - 1) (3 x + 2)}{(y + 1) (y - 1)}$

Etapa 1.2.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.3.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y^{2} - 1^{2}) (3 x + 2)}{(y + 1) (y - 1)}$

Etapa 1.2.3.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = y$ e $b = 1$ .

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) (y - 1) (3 x + 2)}{(y + 1) (y - 1)}$

Etapa 1.2.4

Cancele o fator comum de $y + 1$ .

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Etapa 1.2.4.1

Cancele o fator comum.

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) (y - 1) (3 x + 2)}{(y + 1) (y - 1)}$

Etapa 1.2.4.2

Reescreva a expressão.

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y - 1) (3 x + 2)}{y - 1}$

Etapa 1.2.5

Cancele o fator comum de $y - 1$ .

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Etapa 1.2.5.1

Cancele o fator comum.

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y - 1) (3 x + 2)}{y - 1}$

Etapa 1.2.5.2

Divida $3 x + 2$ por $1$ .

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = 3 x + 2$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$(y^{2} - 1) d y = (3 x + 2) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y^{2} - 1 d y = \int 3 x + 2 d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\int y^{2} d y + \int - 1 d y = \int 3 x + 2 d x$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + \int - 1 d y = \int 3 x + 2 d x$

Etapa 2.2.3

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} - y + C_{2} = \int 3 x + 2 d x$

Etapa 2.2.4

Simplifique.

$\frac{1}{3} y^{3} - y + C_{3} = \int 3 x + 2 d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{3} y^{3} - y + C_{3} = \int 3 x d x + \int 2 d x$

Etapa 2.3.2

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} y^{3} - y + C_{3} = 3 \int x d x + \int 2 d x$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} - y + C_{3} = 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int 2 d x$

Etapa 2.3.4

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{3} y^{3} - y + C_{3} = 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + 2 x + C_{5}$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

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Etapa 2.3.5.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} - y + C_{3} = 3 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + 2 x + C_{5}$

Etapa 2.3.5.2

Simplifique.

$\frac{1}{3} y^{3} - y + C_{3} = \frac{3 x^{2}}{2} + 2 x + C_{6}$

Etapa 2.3.5.3

Reordene os termos.

$\frac{1}{3} y^{3} - y + C_{3} = \frac{3}{2} x^{2} + 2 x + C_{6}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} - y = \frac{3}{2} x^{2} + 2 x + K$