Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d t} + y = e^{- t}$

Etapa 1

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (t) d t}$ , em que $P (t) = 1$ .

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Etapa 1.1

Determine a integração.

$e^{\int d t}$

Etapa 1.2

Aplique a regra da constante.

$e^{t + C}$

Etapa 1.3

Remova a constante de integração.

$e^{t}$

Etapa 2

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{t}$ .

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Etapa 2.1

Multiplique cada termo por $e^{t}$ .

$e^{t} \frac{d y}{d t} + e^{t} y = e^{t} e^{- t}$

Etapa 2.2

Multiplique $e^{t}$ por $e^{- t}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.2.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$e^{t} \frac{d y}{d t} + e^{t} y = e^{t - t}$

Etapa 2.2.2

Subtraia $t$ de $t$ .

$e^{t} \frac{d y}{d t} + e^{t} y = e^{0}$

Etapa 2.3

Simplifique $e^{0}$ .

$e^{t} \frac{d y}{d t} + e^{t} y = 1$

Etapa 2.4

Reordene os fatores em $e^{t} \frac{d y}{d t} + e^{t} y = 1$ .

$e^{t} \frac{d y}{d t} + y e^{t} = 1$

Etapa 3

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d t} [e^{t} y] = 1$

Etapa 4

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d t} [e^{t} y] d t = \int d t$

Etapa 5

Integre o lado esquerdo.

$e^{t} y = \int d t$

Etapa 6

Aplique a regra da constante.

$e^{t} y = t + C$

Etapa 7

Divida cada termo em $e^{t} y = t + C$ por $e^{t}$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Divida cada termo em $e^{t} y = t + C$ por $e^{t}$ .

$\frac{e^{t} y}{e^{t}} = \frac{t}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de $e^{t}$ .

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{t} y}{e^{t}} = \frac{t}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Etapa 7.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{t}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$