Cálculo Exemplos

$x^{2} d y + (x y + x^{2}) d x = 0$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial para ajustá-la à técnica de equação diferencial exata.

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Etapa 1.1

Reescreva.

$(x y + x^{2}) d x + x^{2} d y = 0$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = x y + x^{2}$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y + x^{2}]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x y + x^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d y} [x y]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x y$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.4.1

Como $x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x^{2}$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 0$

Etapa 2.4.2

Some $x$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

Etapa 3

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = x^{2}$ .

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Etapa 3.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x$

Etapa 4

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $x$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2 x$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x = 2 x$

Etapa 4.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$x = 2 x$ não é uma identidade.

Etapa 5

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Etapa 5.1

Substitua $x$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{x - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Etapa 5.2

Substitua $2 x$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{x - (2 x)}{N}$

Etapa 5.3

Substitua $x^{2}$ por $N$ .

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Etapa 5.3.1

Substitua $x^{2}$ por $N$ .

$\frac{x - (2 x)}{x^{2}}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.3.2.1

Fatore $x$ de $x - 1 \cdot 2 x$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{1} - 1 \cdot 2 x}{x^{2}}$

Etapa 5.3.2.1.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot 1 - 1 \cdot 2 x}{x^{2}}$

Etapa 5.3.2.1.3

Fatore $x$ de $- 1 \cdot 2 x$ .

$\frac{x \cdot 1 + x (- 1 \cdot 2)}{x^{2}}$

Etapa 5.3.2.1.4

Fatore $x$ de $x \cdot 1 + x (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{x (1 - 1 \cdot 2)}{x^{2}}$

Etapa 5.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{x (1 - 2)}{x^{2}}$

Etapa 5.3.2.3

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{x \cdot - 1}{x^{2}}$

Etapa 5.3.3

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{2}$ .

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Etapa 5.3.3.1

Fatore $x$ de $x \cdot - 1$ .

$\frac{x (- 1)}{x^{2}}$

Etapa 5.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.3.3.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x (- 1)}{x \cdot x}$

Etapa 5.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x \cdot - 1}{x \cdot x}$

Etapa 5.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{x}$

Etapa 5.3.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{x}$

Etapa 5.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Etapa 6

Avalie a integral $e^{\int - \frac{1}{x} d x}$ .

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Etapa 6.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 6.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Etapa 6.3

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x |)} + C$

Etapa 6.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.4.1

Simplifique $- \ln (| x |)$ movendo $- 1$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 1})} + C$

Etapa 6.4.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 1} + C$

Etapa 6.4.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| x |} + C$

Etapa 7

Multiplique ambos os lados de $(x y + x^{2}) d x + x^{2} d y = 0$ pelo fator de integração $\frac{1}{x}$ .

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Etapa 7.1

Multiplique $x y + x^{2}$ por $\frac{1}{x}$ .

$(x y + x^{2}) \frac{1}{x} d x + x^{2} d y = 0$

Etapa 7.2

Multiplique $x y + x^{2}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x y + x^{2}}{x} d x + x^{2} d y = 0$

Etapa 7.3

Fatore $x$ de $x y + x^{2}$ .

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Etapa 7.3.1

Fatore $x$ de $x y$ .

$\frac{x (y) + x^{2}}{x} d x + x^{2} d y = 0$

Etapa 7.3.2

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x (y) + x \cdot x}{x} d x + x^{2} d y = 0$

Etapa 7.3.3

Fatore $x$ de $x (y) + x \cdot x$ .

$\frac{x (y + x)}{x} d x + x^{2} d y = 0$

Etapa 7.4

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 7.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x (y + x)}{x} d x + x^{2} d y = 0$

Etapa 7.4.2

Divida $y + x$ por $1$ .

$(y + x) d x + x^{2} d y = 0$

Etapa 7.5

Multiplique $x^{2}$ por $\frac{1}{x}$ .

$(y + x) d x + x^{2} \frac{1}{x} d y = 0$

Etapa 7.6

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 7.6.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$(y + x) d x + x \cdot x \frac{1}{x} d y = 0$

Etapa 7.6.2

Cancele o fator comum.

$(y + x) d x + x \cdot x \frac{1}{x} d y = 0$

Etapa 7.6.3

Reescreva a expressão.

$(y + x) d x + x d y = 0$

Etapa 8

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x d y$

Etapa 9

Integre $N (x, y) = x$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 9.1

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = x y + C$

Etapa 10

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = x y + g (x)$

Etapa 11

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y + x$

Etapa 12

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 12.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [x y + g (x)] = y + x$

Etapa 12.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x y + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y + x$

Etapa 12.3

Avalie $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Etapa 12.3.1

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x y$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y + x$

Etapa 12.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y + x$

Etapa 12.3.3

Multiplique $y$ por $1$ .

$y + \frac{d}{d x} [g (x)] = y + x$

Etapa 12.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$y + \frac{d g}{d x} = y + x$

Etapa 12.5

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} + y = y + x$

Etapa 13

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 13.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 13.1.1

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = y + x - y$

Etapa 13.1.2

Combine os termos opostos em $y + x - y$ .

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Etapa 13.1.2.1

Subtraia $y$ de $y$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

Etapa 13.1.2.2

Some $x$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x$

Etapa 14

Encontre a antiderivada de $x$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 14.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

Etapa 14.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x d x$

Etapa 14.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 15

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = x y + g (x)$ .

$f (x, y) = x y + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 16

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = x y + \frac{x^{2}}{2} + C$