Cálculo Exemplos

$(2 y^{2} + 3 x y - 2 y + 6 x) d x + x (x + 2 y - 1) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = 2 y^{2} + 3 x y - 2 y + 6 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 y^{2} + 3 x y - 2 y + 6 x]$

Etapa 1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 y^{2} + 3 x y - 2 y + 6 x$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [6 x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [6 x]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [2 y^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 y^{2}$ em relação a $y$ é $2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [6 x]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 y) + \frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [6 x]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y + \frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [6 x]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d y} [3 x y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Como $3 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $3 x y$ em relação a $y$ é $3 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y + 3 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [6 x]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y + 3 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [6 x]$

Etapa 1.4.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y + 3 x + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [6 x]$

Etapa 1.5

Avalie $\frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Como $- 2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 2 y$ em relação a $y$ é $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y + 3 x - 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [6 x]$

Etapa 1.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y + 3 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [6 x]$

Etapa 1.5.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y + 3 x - 2 + \frac{d}{d y} [6 x]$

Etapa 1.6

Como $6 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $6 x$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y + 3 x - 2 + 0$

Etapa 1.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1

Some $4 y + 3 x - 2$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y + 3 x - 2$

Etapa 1.7.2

Reordene os termos.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + 4 y - 2$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = x (x + 2 y - 1)$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (x + 2 y - 1)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x + 2 y - 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [x + 2 y - 1] + (x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2 y - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.3

Como $2 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 y$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + 0 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.4

Some $1$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + 0) + (x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.6.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cdot 1 + (x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.6.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (x + 2 y - 1) \cdot 1$

Etapa 2.3.8

Simplifique somando os termos.

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Etapa 2.3.8.1

Multiplique $x + 2 y - 1$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + x + 2 y - 1$

Etapa 2.3.8.2

Some $x$ e $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 y - 1$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $3 x + 4 y - 2$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2 x + 2 y - 1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 x + 4 y - 2 = 2 x + 2 y - 1$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$3 x + 4 y - 2 = 2 x + 2 y - 1$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $3 x + 4 y - 2$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{3 x + 4 y - 2 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Etapa 4.2

Substitua $2 x + 2 y - 1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{3 x + 4 y - 2 - (2 x + 2 y - 1)}{N}$

Etapa 4.3

Substitua $x (x + 2 y - 1)$ por $N$ .

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Etapa 4.3.1

Substitua $x (x + 2 y - 1)$ por $N$ .

$\frac{3 x + 4 y - 2 - (2 x + 2 y - 1)}{x (x + 2 y - 1)}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x + 4 y - 2 - (2 x) - (2 y) - - 1}{x (x + 2 y - 1)}$

Etapa 4.3.2.2

Simplifique.

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Etapa 4.3.2.2.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{3 x + 4 y - 2 - 2 x - (2 y) - - 1}{x (x + 2 y - 1)}$

Etapa 4.3.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{3 x + 4 y - 2 - 2 x - 2 y - - 1}{x (x + 2 y - 1)}$

Etapa 4.3.2.2.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{3 x + 4 y - 2 - 2 x - 2 y + 1}{x (x + 2 y - 1)}$

Etapa 4.3.2.3

Subtraia $2 x$ de $3 x$ .

$\frac{x + 4 y - 2 - 2 y + 1}{x (x + 2 y - 1)}$

Etapa 4.3.2.4

Subtraia $2 y$ de $4 y$ .

$\frac{x + 2 y - 2 + 1}{x (x + 2 y - 1)}$

Etapa 4.3.2.5

Some $- 2$ e $1$ .

$\frac{x + 2 y - 1}{x (x + 2 y - 1)}$

Etapa 4.3.3

Cancele o fator comum de $x + 2 y - 1$ .

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Etapa 4.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x + 2 y - 1}{x (x + 2 y - 1)}$

Etapa 4.3.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{x}$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ .

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Etapa 5.1

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

Etapa 5.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.2.1

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

Etapa 5.2.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = | x | + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $(2 y^{2} + 3 x y - 2 y + 6 x) d x + x (x + 2 y - 1) d y = 0$ pelo fator de integração $x$ .

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Etapa 6.1

Multiplique $2 y^{2} + 3 x y - 2 y + 6 x$ por $x$ .

$(2 y^{2} + 3 x y - 2 y + 6 x) x d x + x (x + 2 y - 1) d y = 0$

Etapa 6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(2 y^{2} x + 3 x y x - 2 y x + 6 x \cdot x) d x + x (x + 2 y - 1) d y = 0$

Etapa 6.3

Simplifique.

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Etapa 6.3.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 6.3.1.1

Mova $x$ .

$(2 y^{2} x + 3 (x \cdot x) y - 2 y x + 6 x \cdot x) d x + x (x + 2 y - 1) d y = 0$

Etapa 6.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x \cdot x) d x + x (x + 2 y - 1) d y = 0$

Etapa 6.3.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 6.3.2.1

Mova $x$ .

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 (x \cdot x)) d x + x (x + 2 y - 1) d y = 0$

Etapa 6.3.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}) d x + x (x + 2 y - 1) d y = 0$

Etapa 6.4

Multiplique $x (x + 2 y - 1)$ por $x$ .

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}) d x + x (x + 2 y - 1) x d y = 0$

Etapa 6.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 6.5.1

Mova $x$ .

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}) d x + x \cdot x (x + 2 y - 1) d y = 0$

Etapa 6.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}) d x + x^{2} (x + 2 y - 1) d y = 0$

Etapa 6.6

Aplique a propriedade distributiva.

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}) d x + (x^{2} x + x^{2} (2 y) + x^{2} \cdot - 1) d y = 0$

Etapa 6.7

Simplifique.

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Etapa 6.7.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 6.7.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 6.7.1.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}) d x + (x^{2} x^{1} + x^{2} (2 y) + x^{2} \cdot - 1) d y = 0$

Etapa 6.7.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}) d x + (x^{2 + 1} + x^{2} (2 y) + x^{2} \cdot - 1) d y = 0$

Etapa 6.7.1.2

Some $2$ e $1$ .

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}) d x + (x^{3} + x^{2} (2 y) + x^{2} \cdot - 1) d y = 0$

Etapa 6.7.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}) d x + (x^{3} + 2 x^{2} y + x^{2} \cdot - 1) d y = 0$

Etapa 6.7.3

Mova $- 1$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}) d x + (x^{3} + 2 x^{2} y - 1 \cdot x^{2}) d y = 0$

Etapa 6.8

Reescreva $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}) d x + (x^{3} + 2 x^{2} y - x^{2}) d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{3} + 2 x^{2} y - x^{2} d y$

Etapa 8

Integre $N (x, y) = x^{3} + 2 x^{2} y - x^{2}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 8.1

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = \int x^{3} d y + \int 2 x^{2} y d y + \int - x^{2} d y$

Etapa 8.2

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = x^{3} y + C + \int 2 x^{2} y d y + \int - x^{2} d y$

Etapa 8.3

Como $2 x^{2}$ é constante com relação a $y$ , mova $2 x^{2}$ para fora da integral.

$f (x, y) = x^{3} y + C + 2 x^{2} \int y d y + \int - x^{2} d y$

Etapa 8.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{3} y + C + 2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int - x^{2} d y$

Etapa 8.5

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = x^{3} y + C + 2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C) - x^{2} y + C$

Etapa 8.6

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{3} y + C + 2 x^{2} (\frac{y^{2}}{2} + C) - x^{2} y + C$

Etapa 8.7

Simplifique.

$f (x, y) = x^{3} y + x^{2} y^{2} - x^{2} y + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{3} y + x^{2} y^{2} - x^{2} y + g (x)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} y + x^{2} y^{2} - x^{2} y + g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} y + x^{2} y^{2} - x^{2} y + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

Etapa 11.3

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{3} y]$ .

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Etapa 11.3.1

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x^{3} y$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

Etapa 11.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$y (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

Etapa 11.3.3

Mova $3$ para a esquerda de $y$ .

$3 y x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

Etapa 11.4

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

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Etapa 11.4.1

Como $y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x^{2} y^{2}$ em relação a $x$ é $y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 y x^{2} + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

Etapa 11.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 y x^{2} + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

Etapa 11.4.3

Mova $2$ para a esquerda de $y^{2}$ .

$3 y x^{2} + 2 y^{2} x + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

Etapa 11.5

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2} y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.5.1

Como $- y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2} y$ em relação a $x$ é $- y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 y x^{2} + 2 y^{2} x - y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

Etapa 11.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 y x^{2} + 2 y^{2} x - y (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

Etapa 11.5.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$3 y x^{2} + 2 y^{2} x - 2 y x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

Etapa 11.6

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$3 y x^{2} + 2 y^{2} x - 2 y x + \frac{d g}{d x} = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

Etapa 11.7

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y + 2 y^{2} x - 2 x y = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d x}$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1

Subtraia $3 x^{2} y$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} + 2 y^{2} x - 2 x y = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2} - 3 x^{2} y$

Etapa 12.1.2

Subtraia $2 y^{2} x$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} - 2 x y = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2} - 3 x^{2} y - 2 y^{2} x$

Etapa 12.1.3

Some $2 x y$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2} - 3 x^{2} y - 2 y^{2} x + 2 x y$

Etapa 12.1.4

Combine os termos opostos em $2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2} - 3 x^{2} y - 2 y^{2} x + 2 x y$ .

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Etapa 12.1.4.1

Subtraia $3 x^{2} y$ de $3 x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 y^{2} x - 2 y x + 6 x^{2} + 0 - 2 y^{2} x + 2 x y$

Etapa 12.1.4.2

Some $2 y^{2} x - 2 y x + 6 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 y^{2} x - 2 y x + 6 x^{2} - 2 y^{2} x + 2 x y$

Etapa 12.1.4.3

Subtraia $2 y^{2} x$ de $2 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = - 2 y x + 6 x^{2} + 0 + 2 x y$

Etapa 12.1.4.4

Some $- 2 y x + 6 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - 2 y x + 6 x^{2} + 2 x y$

Etapa 12.1.4.5

Reorganize os fatores nos termos $- 2 y x$ e $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = - 2 x y + 6 x^{2} + 2 x y$

Etapa 12.1.4.6

Some $- 2 x y$ e $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = 6 x^{2} + 0$

Etapa 12.1.4.7

Some $6 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 6 x^{2}$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $6 x^{2}$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = 6 x^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 6 x^{2} d x$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 6 x^{2} d x$

Etapa 13.3

Como $6$ é constante com relação a $x$ , mova $6$ para fora da integral.

$g (x) = 6 \int x^{2} d x$

Etapa 13.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Etapa 13.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 13.5.1

Reescreva $6 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ como $6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ .

$g (x) = 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Etapa 13.5.2

Simplifique.

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Etapa 13.5.2.1

Combine $6$ e $\frac{1}{3}$ .

$g (x) = \frac{6}{3} x^{3} + C$

Etapa 13.5.2.2

Cancele o fator comum de $6$ e $3$ .

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Etapa 13.5.2.2.1

Fatore $3$ de $6$ .

$g (x) = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{3} + C$

Etapa 13.5.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 13.5.2.2.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$g (x) = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{3} + C$

Etapa 13.5.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$g (x) = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{3} + C$

Etapa 13.5.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$g (x) = \frac{2}{1} x^{3} + C$

Etapa 13.5.2.2.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$g (x) = 2 x^{3} + C$

Etapa 14

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = x^{3} y + x^{2} y^{2} - x^{2} y + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{3} y + x^{2} y^{2} - x^{2} y + 2 x^{3} + C$