Cálculo Exemplos

$2 y d y = (x^{2} + 1) d x$

Etapa 1

Integre os dois lados.

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Etapa 1.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int 2 y d y = \int x^{2} + 1 d x$

Etapa 1.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.1

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int y d y = \int x^{2} + 1 d x$

Etapa 1.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int x^{2} + 1 d x$

Etapa 1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.2.3.1

Reescreva $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ como $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int x^{2} + 1 d x$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique.

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Etapa 1.2.3.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int x^{2} + 1 d x$

Etapa 1.2.3.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int x^{2} + 1 d x$

Etapa 1.2.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$1 y^{2} + C_{1} = \int x^{2} + 1 d x$

Etapa 1.2.3.2.3

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} + C_{1} = \int x^{2} + 1 d x$

Etapa 1.3

Integre o lado direito.

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Etapa 1.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$y^{2} + C_{1} = \int x^{2} d x + \int d x$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int d x$

Etapa 1.3.3

Aplique a regra da constante.

$y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + x + C_{3}$

Etapa 1.3.4

Simplifique.

$y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + x + C_{4}$

Etapa 1.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y^{2} = \frac{1}{3} x^{3} + x + K$

Etapa 2

Resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{\frac{1}{3} x^{3} + x + K}$

Etapa 2.2

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{1}{3} x^{3} + x + K}$ .

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Etapa 2.2.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3}}{3} + x + K}$

Etapa 2.2.2

Para escrever $x$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3}}{3} + x \cdot \frac{3}{3} + K}$

Etapa 2.2.3

Combine $x$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3}}{3} + \frac{x \cdot 3}{3} + K}$

Etapa 2.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3} + x \cdot 3}{3} + K}$

Etapa 2.2.5

Fatore $x$ de $x^{3} + x \cdot 3$ .

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Etapa 2.2.5.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot 3}{3} + K}$

Etapa 2.2.5.2

Fatore $x$ de $x \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x \cdot x^{2} + x (3)}{3} + K}$

Etapa 2.2.5.3

Fatore $x$ de $x \cdot x^{2} + x (3)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x (x^{2} + 3)}{3} + K}$

Etapa 2.2.6

Para escrever $K$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x (x^{2} + 3)}{3} + K \cdot \frac{3}{3}}$

Etapa 2.2.7

Simplifique os termos.

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Etapa 2.2.7.1

Combine $K$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x (x^{2} + 3)}{3} + \frac{K \cdot 3}{3}}$

Etapa 2.2.7.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \pm \sqrt{\frac{x (x^{2} + 3) + K \cdot 3}{3}}$

Etapa 2.2.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.2.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \pm \sqrt{\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot 3 + K \cdot 3}{3}}$

Etapa 2.2.8.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.2.8.2.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 2.2.8.2.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{1} x^{2} + x \cdot 3 + K \cdot 3}{3}}$

Etapa 2.2.8.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{1 + 2} + x \cdot 3 + K \cdot 3}{3}}$

Etapa 2.2.8.2.2

Some $1$ e $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3} + x \cdot 3 + K \cdot 3}{3}}$

Etapa 2.2.8.3

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3} + 3 \cdot x + K \cdot 3}{3}}$

Etapa 2.2.8.4

Mova $3$ para a esquerda de $K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3} + 3 x + 3 K}{3}}$

Etapa 2.2.9

Reescreva $\sqrt{\frac{x^{3} + 3 x + 3 K}{3}}$ como $\frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K}}{\sqrt{3}}$

Etapa 2.2.10

Multiplique $\frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Etapa 2.2.11

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 2.2.11.1

Multiplique $\frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 2.2.11.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Etapa 2.2.11.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Etapa 2.2.11.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 2.2.11.5

Some $1$ e $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 2.2.11.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 2.2.11.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.2.11.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.2.11.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.2.11.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.2.11.6.4.1

Cancele o fator comum.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.2.11.6.4.2

Reescreva a expressão.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Etapa 2.2.11.6.5

Avalie o expoente.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{3}$

Etapa 2.2.12

Combine usando a regra do produto para radicais.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x^{3} + 3 x + 3 K) \cdot 3}}{3}$

Etapa 2.2.13

Reordene os fatores em $\pm \frac{\sqrt{(x^{3} + 3 x + 3 K) \cdot 3}}{3}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

Etapa 2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

Etapa 2.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

Etapa 2.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

Etapa 3

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + K)}}{3}$