Cálculo Exemplos

$(x^{2} + y^{2} + 1) d x + (x^{2} - 2 x y) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = x^{2} + y^{2} + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2} + 1]$

Etapa 1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + y^{2} + 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 1.3

Como $x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x^{2}$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 1.5

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + 0$

Etapa 1.6

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

Some $0$ e $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 0$

Etapa 1.6.2

Some $2 y$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = x^{2} - 2 x y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x y]$

Etapa 2.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 2 x y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- 2 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x y$ em relação a $x$ é $- 2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 2 y \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 2 y \cdot 1$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 2 y$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2 x - 2 y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y = 2 x - 2 y$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$2 y = 2 x - 2 y$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Etapa 4.2

Substitua $2 x - 2 y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 y - (2 x - 2 y)}{N}$

Etapa 4.3

Substitua $x^{2} - 2 x y$ por $N$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua $x^{2} - 2 x y$ por $N$ .

$\frac{2 y - (2 x - 2 y)}{x^{2} - 2 x y}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 y - (2 x) - (- 2 y)}{x^{2} - 2 x y}$

Etapa 4.3.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 y - 2 x - (- 2 y)}{x^{2} - 2 x y}$

Etapa 4.3.2.3

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{2 y - 2 x + 2 y}{x^{2} - 2 x y}$

Etapa 4.3.2.4

Some $2 y$ e $2 y$ .

$\frac{- 2 x + 4 y}{x^{2} - 2 x y}$

Etapa 4.3.2.5

Fatore $2$ de $- 2 x + 4 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.5.1

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x) + 4 y}{x^{2} - 2 x y}$

Etapa 4.3.2.5.2

Fatore $2$ de $4 y$ .

$\frac{2 (- x) + 2 (2 y)}{x^{2} - 2 x y}$

Etapa 4.3.2.5.3

Fatore $2$ de $2 (- x) + 2 (2 y)$ .

$\frac{2 (- x + 2 y)}{x^{2} - 2 x y}$

Etapa 4.3.3

Fatore $x$ de $x^{2} - 2 x y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{2 (- x + 2 y)}{x \cdot x - 2 x y}$

Etapa 4.3.3.2

Fatore $x$ de $- 2 x y$ .

$\frac{2 (- x + 2 y)}{x \cdot x + x (- 2 y)}$

Etapa 4.3.3.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x (- 2 y)$ .

$\frac{2 (- x + 2 y)}{x (x - 2 y)}$

Etapa 4.3.4

Cancele o fator comum de $- x + 2 y$ e $x - 2 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.1

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{2 (- (x) + 2 y)}{x (x - 2 y)}$

Etapa 4.3.4.2

Fatore $- 1$ de $2 y$ .

$\frac{2 (- (x) - (- 2 y))}{x (x - 2 y)}$

Etapa 4.3.4.3

Fatore $- 1$ de $- (x) - (- 2 y)$ .

$\frac{2 (- (x - 2 y))}{x (x - 2 y)}$

Etapa 4.3.4.4

Reescreva $- (x - 2 y)$ como $- 1 (x - 2 y)$ .

$\frac{2 (- 1 (x - 2 y))}{x (x - 2 y)}$

Etapa 4.3.4.5

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- 1 (x - 2 y))}{x (x - 2 y)}$

Etapa 4.3.4.6

Reescreva a expressão.

$\frac{2 \cdot (- 1)}{x}$

Etapa 4.3.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 2}{x}$

Etapa 4.3.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{x}$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int - \frac{2}{x} d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Etapa 5.2

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Etapa 5.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 5.4

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Etapa 5.5

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| x |)} + C$

Etapa 5.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Simplifique $- 2 \ln (| x |)$ movendo $- 2$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 2})} + C$

Etapa 5.6.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 2} + C$

Etapa 5.6.3

Remova o valor absoluto em ${| x |}^{- 2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$μ (x, y) = x^{- 2} + C$

Etapa 5.6.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{2}} + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $(x^{2} + y^{2} + 1) d x + (x^{2} - 2 x y) d y = 0$ pelo fator de integração $\frac{1}{x^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Multiplique $x^{2} + y^{2} + 1$ por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(x^{2} + y^{2} + 1) \frac{1}{x^{2}} d x + (x^{2} - 2 x y) d y = 0$

Etapa 6.2

Multiplique $x^{2} + y^{2} + 1$ por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}} d x + (x^{2} - 2 x y) d y = 0$

Etapa 6.3

Multiplique $x^{2} - 2 x y$ por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}} d x + (x^{2} - 2 x y) \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Etapa 6.4

Multiplique $x^{2} - 2 x y$ por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}} d x + \frac{x^{2} - 2 x y}{x^{2}} d y = 0$

Etapa 6.5

Fatore $x$ de $x^{2} - 2 x y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}} d x + \frac{x \cdot x - 2 x y}{x^{2}} d y = 0$

Etapa 6.5.2

Fatore $x$ de $- 2 x y$ .

$\frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}} d x + \frac{x \cdot x + x (- 2 y)}{x^{2}} d y = 0$

Etapa 6.5.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x (- 2 y)$ .

$\frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}} d x + \frac{x (x - 2 y)}{x^{2}} d y = 0$

Etapa 6.6

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}} d x + \frac{x (x - 2 y)}{x \cdot x} d y = 0$

Etapa 6.6.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}} d x + \frac{x (x - 2 y)}{x \cdot x} d y = 0$

Etapa 6.6.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}} d x + \frac{x - 2 y}{x} d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x - 2 y}{x} d y$

Etapa 8

Integre $N (x, y) = \frac{x - 2 y}{x}$ para encontrar $f (x, y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Divida a fração em diversas frações.

$f (x, y) = \int \frac{x}{x} + \frac{- 2 y}{x} d y$

Etapa 8.2

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = \int \frac{x}{x} d y + \int \frac{- 2 y}{x} d y$

Etapa 8.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.1

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = \int \frac{x}{x} d y + \int \frac{- 2 y}{x} d y$

Etapa 8.3.1.2

Reescreva a expressão.

$f (x, y) = \int d y + \int \frac{- 2 y}{x} d y$

Etapa 8.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (x, y) = \int d y + \int - \frac{2 y}{x} d y$

Etapa 8.4

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = y + C + \int - \frac{2 y}{x} d y$

Etapa 8.5

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$f (x, y) = y + C - \int \frac{2 y}{x} d y$

Etapa 8.6

Como $\frac{2}{x}$ é constante com relação a $y$ , mova $\frac{2}{x}$ para fora da integral.

$f (x, y) = y + C - (\frac{2}{x} \int y d y)$

Etapa 8.7

Remova os parênteses.

$f (x, y) = y + C - \frac{2}{x} \int y d y$

Etapa 8.8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = y + C - \frac{2}{x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Etapa 8.9

Simplifique.

$f (x, y) = y - \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$

Etapa 8.10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.10.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{x}$ .

$f (x, y) = y - \frac{2}{2 x} y^{2} + C$

Etapa 8.10.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.10.2.1

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = y - \frac{2}{2 x} y^{2} + C$

Etapa 8.10.2.2

Reescreva a expressão.

$f (x, y) = y - \frac{1}{x} y^{2} + C$

Etapa 8.10.3

Combine $y^{2}$ e $\frac{1}{x}$ .

$f (x, y) = y - \frac{y^{2}}{x} + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = y - \frac{y^{2}}{x} + g (x)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}}$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [y - \frac{y^{2}}{x} + g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}}$

Etapa 11.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y - \frac{y^{2}}{x} + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}}$

Etapa 11.2.2

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}}$

Etapa 11.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.1

Como $- y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{y^{2}}{x}$ em relação a $x$ é $- y^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$0 - y^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}}$

Etapa 11.3.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$0 - y^{2} \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}}$

Etapa 11.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$0 - y^{2} (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}}$

Etapa 11.3.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$0 + 1 y^{2} x^{- 2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}}$

Etapa 11.3.5

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$0 + y^{2} x^{- 2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}}$

Etapa 11.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + y^{2} x^{- 2} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}}$

Etapa 11.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + y^{2} \frac{1}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}}$

Etapa 11.5.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.5.2.1

Combine $y^{2}$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$0 + \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}}$

Etapa 11.5.2.2

Some $0$ e $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}}$

Etapa 11.5.3

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2}}{x^{2}} = \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}}$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1

Mova todos os termos que contêm variáveis para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.1

Subtraia $\frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2}}{x^{2}} - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2} - (x^{2} + y^{2} + 1)}{x^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2} - x^{2} - y^{2} - 1 \cdot 1}{x^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.3.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2} - x^{2} - y^{2} - 1}{x^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.4

Combine os termos opostos em $y^{2} - x^{2} - y^{2} - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.4.1

Subtraia $y^{2}$ de $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{2} + 0 - 1}{x^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.4.2

Some $- x^{2}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{2} - 1}{x^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.5

Para escrever $\frac{d g}{d x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2}}{x^{2}} + \frac{- x^{2} - 1}{x^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2} - x^{2} - 1}{x^{2}} = 0$

Etapa 12.1.2

Defina o numerador como igual a zero.

$\frac{d g}{d x} x^{2} - x^{2} - 1 = 0$

Etapa 12.1.3

Resolva a equação para $\frac{d g}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.3.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d x}$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.3.1.1

Some $x^{2}$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} x^{2} - 1 = x^{2}$

Etapa 12.1.3.1.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} x^{2} = x^{2} + 1$

Etapa 12.1.3.2

Divida cada termo em $\frac{d g}{d x} x^{2} = x^{2} + 1$ por $x^{2}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.3.2.1

Divida cada termo em $\frac{d g}{d x} x^{2} = x^{2} + 1$ por $x^{2}$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2}}{x^{2}} = \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 12.1.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2}}{x^{2}} = \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 12.1.3.2.2.1.2

Divida $\frac{d g}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 12.1.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.3.2.3.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.3.2.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d g}{d x} = \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 12.1.3.2.3.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{d g}{d x} = 1 + \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $1 + \frac{1}{x^{2}}$ para encontrar $g (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = 1 + \frac{1}{x^{2}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 1 + \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 1 + \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 13.3

Divida a integral única em várias integrais.

$g (x) = \int d x + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 13.4

Aplique a regra da constante.

$g (x) = x + C + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 13.5

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$g (x) = x + C + \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Etapa 13.6

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.6.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (x) = x + C + \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Etapa 13.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$g (x) = x + C + \int x^{- 2} d x$

Etapa 13.7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$g (x) = x + C - x^{- 1} + C$

Etapa 13.8

Simplifique.

$g (x) = x - \frac{1}{x} + C$

Etapa 14

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = y - \frac{y^{2}}{x} + g (x)$ .

$f (x, y) = y - \frac{y^{2}}{x} + x - \frac{1}{x} + C$