Cálculo Exemplos

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y = \ln (x)$

Etapa 1

Verifique se o lado esquerdo da equação é o resultado da derivada do termo $(x + 1) y$ .

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x + 1$ e $g (x) = y$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 1.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$(x + 1) y' + y \frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 1.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x + 1) y' + y (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(x + 1) y' + y (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 1.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$(x + 1) y' + y (1 + 0)$

Etapa 1.6

Some $1$ e $0$ .

$(x + 1) y' + y \cdot 1$

Etapa 1.7

Substitua $\frac{d y}{d x}$ por $y'$ .

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Etapa 1.8

Reordene $y$ e $1$ .

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Etapa 1.9

Multiplique $y$ por $1$ .

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y$

Etapa 2

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [(x + 1) y] = \ln (x)$

Etapa 3

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [(x + 1) y] d x = \int \ln (x) d x$

Etapa 4

Integre o lado esquerdo.

$(x + 1) y = \int \ln (x) d x$

Etapa 5

Integre o lado direito.

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Etapa 5.1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \ln (x)$ e $d v = 1$ .

$(x + 1) y = \ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x$

Etapa 5.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.1

Combine $x$ e $\frac{1}{x}$ .

$(x + 1) y = \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

Etapa 5.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$(x + 1) y = \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

Etapa 5.2.2.2

Reescreva a expressão.

$(x + 1) y = \ln (x) x - \int d x$

Etapa 5.3

Aplique a regra da constante.

$(x + 1) y = \ln (x) x - (x + C)$

Etapa 5.4

Simplifique.

$(x + 1) y = \ln (x) x - x + C$

Etapa 6

Divida cada termo em $(x + 1) y = \ln (x) x - x + C$ por $x + 1$ e simplifique.

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Etapa 6.1

Divida cada termo em $(x + 1) y = \ln (x) x - x + C$ por $x + 1$ .

$\frac{(x + 1) y}{x + 1} = \frac{\ln (x) x}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Etapa 6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.1

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

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Etapa 6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x + 1) y}{x + 1} = \frac{\ln (x) x}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Etapa 6.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (x) x}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Etapa 6.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{\ln (x) x}{x + 1} - \frac{x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Etapa 6.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{\ln (x) x - x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Etapa 6.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{\ln (x) x - x + C}{x + 1}$

Etapa 6.3.4

Reordene os fatores em $\ln (x) x - x + C$ .

$y = \frac{x \ln (x) - x + C}{x + 1}$