Cálculo Exemplos

$(y - x + x y \cot (x)) d x + x d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = y - x + x y \cot (x)$ .

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Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y - x + x y \cot (x)]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y - x + x y \cot (x)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [x y \cot (x)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [x y \cot (x)]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [x y \cot (x)]$

Etapa 1.2.3

Como $- x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- x$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 0 + \frac{d}{d y} [x y \cot (x)]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [x y \cot (x)]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $x \cot (x)$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x y \cot (x)$ em relação a $y$ é $x \cot (x) \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 0 + x \cot (x) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 0 + x \cot (x) \cdot 1$

Etapa 1.3.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 0 + x \cot (x)$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + x \cot (x)$

Etapa 1.4.2

Reordene os termos.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cot (x) + 1$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = x$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $x \cot (x) + 1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x \cot (x) + 1 = 1$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$x \cot (x) + 1 = 1$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $x \cot (x) + 1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{x \cot (x) + 1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Etapa 4.2

Substitua $1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{x \cot (x) + 1 - 1}{N}$

Etapa 4.3

Substitua $x$ por $N$ .

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Etapa 4.3.1

Substitua $x$ por $N$ .

$\frac{x \cot (x) + 1 - 1}{x}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.2.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{x \cot (x) + 0}{x}$

Etapa 4.3.2.2

Some $x \cot (x)$ e $0$ .

$\frac{x \cot (x)}{x}$

Etapa 4.3.3

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 4.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \cot (x)}{x}$

Etapa 4.3.3.2

Divida $\cot (x)$ por $1$ .

$\cot (x)$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \cot (x) d x}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int \cot (x) d x}$ .

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Etapa 5.1

A integral de $\cot (x)$ com relação a $x$ é $\ln (| \sin (x) |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| \sin (x) |) + C}$

Etapa 5.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.2.1

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{\ln (| \sin (x) |)} + C$

Etapa 5.2.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = | \sin (x) | + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $(y - x + x y \cot (x)) d x + x d y = 0$ pelo fator de integração $\sin (x)$ .

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Etapa 6.1

Multiplique $y - x + x y \cot (x)$ por $\sin (x)$ .

$(y - x + x y \cot (x)) \sin (x) d x + x d y = 0$

Etapa 6.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1

Reescreva $\cot (x)$ em termos de senos e cossenos.

$(y - x + x y \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) \sin (x) d x + x d y = 0$

Etapa 6.2.2

Multiplique $x y \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

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Etapa 6.2.2.1

Combine $x$ e $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$(y - x + y \frac{x \cos (x)}{\sin (x)}) \sin (x) d x + x d y = 0$

Etapa 6.2.2.2

Combine $y$ e $\frac{x \cos (x)}{\sin (x)}$ .

$(y - x + \frac{y (x \cos (x))}{\sin (x)}) \sin (x) d x + x d y = 0$

$(y - x + \frac{y x \cos (x)}{\sin (x)}) \sin (x) d x + x d y = 0$

Etapa 6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(y \sin (x) - x \sin (x) + \frac{y x \cos (x)}{\sin (x)} \sin (x)) d x + x d y = 0$

Etapa 6.4

Cancele o fator comum de $\sin (x)$ .

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Etapa 6.4.1

Cancele o fator comum.

$(y \sin (x) - x \sin (x) + \frac{y x \cos (x)}{\sin (x)} \sin (x)) d x + x d y = 0$

Etapa 6.4.2

Reescreva a expressão.

$(y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)) d x + x d y = 0$

Etapa 6.5

Multiplique $x$ por $\sin (x)$ .

$(y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)) d x + x \sin (x) d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x \sin (x) d y$

Etapa 8

Integre $N (x, y) = x \sin (x)$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 8.1

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = x \sin (x) y + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = x \sin (x) y + g (x)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [x \sin (x) y + g (x)] = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x \sin (x) y + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x \sin (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x \sin (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Etapa 11.3

Avalie $\frac{d}{d x} [x \sin (x) y]$ .

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Etapa 11.3.1

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x \sin (x) y$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

$y \frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Etapa 11.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$y (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Etapa 11.3.3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Etapa 11.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Etapa 11.3.5

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Etapa 11.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x)) + \frac{d g}{d x} = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Etapa 11.5

Simplifique.

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Etapa 11.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y (x \cos (x)) + y \sin (x) + \frac{d g}{d x} = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Etapa 11.5.2

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} + x y \cos (x) + y \sin (x) = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 12.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 12.1.1

Subtraia $x y \cos (x)$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} + y \sin (x) = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x) - x y \cos (x)$

Etapa 12.1.2

Subtraia $y \sin (x)$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x) - x y \cos (x) - y \sin (x)$

Etapa 12.1.3

Combine os termos opostos em $y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x) - x y \cos (x) - y \sin (x)$ .

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Etapa 12.1.3.1

Reorganize os fatores nos termos $y x \cos (x)$ e $- x y \cos (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = y \sin (x) - x \sin (x) + x y \cos (x) - x y \cos (x) - y \sin (x)$

Etapa 12.1.3.2

Subtraia $x y \cos (x)$ de $x y \cos (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = y \sin (x) - x \sin (x) + 0 - y \sin (x)$

Etapa 12.1.3.3

Some $y \sin (x) - x \sin (x)$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = y \sin (x) - x \sin (x) - y \sin (x)$

Etapa 12.1.3.4

Subtraia $y \sin (x)$ de $y \sin (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = - x \sin (x) + 0$

Etapa 12.1.3.5

Some $- x \sin (x)$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - x \sin (x)$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $- x \sin (x)$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = - x \sin (x)$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x \sin (x) d x$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - x \sin (x) d x$

Etapa 13.3

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$g (x) = - \int x \sin (x) d x$

Etapa 13.4

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = \sin (x)$ .

$g (x) = - (x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x)$

Etapa 13.5

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$g (x) = - (x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x)$

Etapa 13.6

Simplifique.

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Etapa 13.6.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$g (x) = - (x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x)$

Etapa 13.6.2

Multiplique $\int \cos (x) d x$ por $1$ .

$g (x) = - (x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x)$

Etapa 13.7

A integral de $\cos (x)$ com relação a $x$ é $\sin (x)$ .

$g (x) = - (x (- \cos (x)) + \sin (x) + C)$

Etapa 13.8

Reescreva $- (x (- \cos (x)) + \sin (x) + C)$ como $- (- x \cos (x) + \sin (x)) + C$ .

$g (x) = - (- x \cos (x) + \sin (x)) + C$

Etapa 14

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = x \sin (x) y + g (x)$ .

$f (x, y) = x \sin (x) y - (- x \cos (x) + \sin (x)) + C$

Etapa 15

Simplifique $f (x, y) = x \sin (x) y - (- x \cos (x) + \sin (x)) + C$ .

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Etapa 15.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x, y) = x \sin (x) y - (- x \cos (x)) - \sin (x) + C$

Etapa 15.1.2

Multiplique $- (- x \cos (x))$ .

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Etapa 15.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (x, y) = x \sin (x) y + 1 (x \cos (x)) - \sin (x) + C$

Etapa 15.1.2.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$f (x, y) = x \sin (x) y + x \cos (x) - \sin (x) + C$

Etapa 15.2

Reordene os fatores em $f (x, y) = x \sin (x) y + x \cos (x) - \sin (x) + C$ .

$f (x, y) = x y \sin (x) + x \cos (x) - \sin (x) + C$