Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x e^{- x^{2}}}{y}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{x e^{- x^{2}}}{y})$

Etapa 1.2

Simplifique.

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Etapa 1.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{x e^{- x^{2}}}{y}$

Etapa 1.2.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 1.2.2.1

Fatore $y$ de $- y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x e^{- x^{2}}}{y}$

Etapa 1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x e^{- x^{2}}}{y}$

Etapa 1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$y \frac{d y}{d x} = - (x e^{- x^{2}})$

$y \frac{d y}{d x} = - x e^{- x^{2}}$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$y d y = - x e^{- x^{2}} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y d y = \int - x e^{- x^{2}} d x$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x e^{- x^{2}} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x e^{- x^{2}} d x$

Etapa 2.3.2

Deixe $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Depois, $d u_{2} = - 2 x e^{- x^{2}} d x$ , então, $- \frac{1}{2} d u_{2} = x e^{- x^{2}} d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 2.3.2.1

Deixe $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Diferencie $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Etapa 2.3.2.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x^{2}$ .

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Etapa 2.3.2.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.3.2.1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.3.2.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $- x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.3.2.1.3

Diferencie.

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Etapa 2.3.2.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.3.2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

Etapa 2.3.2.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Etapa 2.3.2.1.4

Simplifique.

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Etapa 2.3.2.1.4.1

Reordene os fatores de $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ .

$- 2 e^{- x^{2}} x$

Etapa 2.3.2.1.4.2

Reordene os fatores em $- 2 e^{- x^{2}} x$ .

$- 2 x e^{- x^{2}}$

Etapa 2.3.2.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Etapa 2.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int - \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 2.3.4

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (- \frac{1}{2} u_{2} + C_{2})$

Etapa 2.3.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.3.5.1

Simplifique.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (- \frac{1}{2} u_{2}) + C_{2}$

Etapa 2.3.5.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.5.2.1

Combine $u_{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - - \frac{u_{2}}{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.5.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 1 \frac{u_{2}}{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.5.2.3

Multiplique $\frac{u_{2}}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{u_{2}}{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{e^{- x^{2}}}{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.5.4

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} e^{- x^{2}} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} e^{- x^{2}} + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{2} e^{- x^{2}} + K)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} e^{- x^{2}} + K)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} e^{- x^{2}} + K)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} e^{- x^{2}} + K)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} e^{- x^{2}} + K)$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{- x^{2}}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{e^{- x^{2}}}{2} + K)$

Etapa 3.2.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} = 2 \frac{e^{- x^{2}}}{2} + 2 K$

Etapa 3.2.2.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$y^{2} = 2 \frac{e^{- x^{2}}}{2} + 2 K$

Etapa 3.2.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} = e^{- x^{2}} + 2 K$

Etapa 3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{e^{- x^{2}} + 2 K}$

Etapa 3.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \sqrt{e^{- x^{2}} + 2 K}$

Etapa 3.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \sqrt{e^{- x^{2}} + 2 K}$

Etapa 3.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \sqrt{e^{- x^{2}} + 2 K}$

$y = - \sqrt{e^{- x^{2}} + 2 K}$

$y = \sqrt{e^{- x^{2}} + 2 K}$

$y = - \sqrt{e^{- x^{2}} + 2 K}$

$y = \sqrt{e^{- x^{2}} + 2 K}$

$y = - \sqrt{e^{- x^{2}} + 2 K}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \sqrt{e^{- x^{2}} + K}$

$y = - \sqrt{e^{- x^{2}} + K}$