Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = y^{2} x^{4} - y^{2} + x^{4} - 1$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{d y}{d x} = (y^{2} x^{4} - y^{2}) + x^{4} - 1$

Etapa 1.1.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{d y}{d x} = y^{2} (x^{4} - 1) + 1 (x^{4} - 1)$

Etapa 1.1.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x^{4} - 1$ .

$\frac{d y}{d x} = (x^{4} - 1) (y^{2} + 1)$

Etapa 1.1.3

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = ({(x^{2})}^{2} - 1) (y^{2} + 1)$

Etapa 1.1.4

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = ({(x^{2})}^{2} - 1^{2}) (y^{2} + 1)$

Etapa 1.1.5

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x^{2}$ e $b = 1$ .

$\frac{d y}{d x} = (x^{2} + 1) (x^{2} - 1) (y^{2} + 1)$

Etapa 1.1.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = (x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2}) (y^{2} + 1)$

Etapa 1.1.6.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.2.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{d y}{d x} = (x^{2} + 1) ((x + 1) (x - 1)) (y^{2} + 1)$

Etapa 1.1.6.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$\frac{d y}{d x} = (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) (y^{2} + 1)$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} ((x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) (y^{2} + 1))$

Etapa 1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Cancele o fator comum de $y^{2} + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Fatore $y^{2} + 1$ de $(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) (y^{2} + 1)$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} ((y^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)))$

Etapa 1.3.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} ((y^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)))$

Etapa 1.3.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)$

Etapa 1.3.2

Expanda $(x^{2} + 1) (x + 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = (x^{2} (x + 1) + 1 (x + 1)) (x - 1)$

Etapa 1.3.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = (x^{2} x + x^{2} \cdot 1 + 1 (x + 1)) (x - 1)$

Etapa 1.3.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = (x^{2} x + x^{2} \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 1)$

Etapa 1.3.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.3.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = (x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 1)$

Etapa 1.3.3.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 1)$

Etapa 1.3.3.1.2

Some $2$ e $1$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = (x^{3} + x^{2} \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 1)$

Etapa 1.3.3.2

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = (x^{3} + x^{2} + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 1)$

Etapa 1.3.3.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = (x^{3} + x^{2} + x + 1 \cdot 1) (x - 1)$

Etapa 1.3.3.4

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = (x^{3} + x^{2} + x + 1) (x - 1)$

Etapa 1.3.4

Expanda $(x^{3} + x^{2} + x + 1) (x - 1)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{3} x + x^{3} \cdot - 1 + x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Etapa 1.3.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.1

Multiplique $x^{3}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.1.1

Multiplique $x^{3}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.1.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{3} x^{1} + x^{3} \cdot - 1 + x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Etapa 1.3.5.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{3 + 1} + x^{3} \cdot - 1 + x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Etapa 1.3.5.1.2

Some $3$ e $1$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} + x^{3} \cdot - 1 + x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Etapa 1.3.5.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x^{3}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - 1 \cdot x^{3} + x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Etapa 1.3.5.3

Reescreva $- 1 x^{3}$ como $- x^{3}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Etapa 1.3.5.4

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.4.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.4.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Etapa 1.3.5.4.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Etapa 1.3.5.4.2

Some $2$ e $1$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{3} + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Etapa 1.3.5.5

Mova $- 1$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{3} - 1 \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Etapa 1.3.5.6

Reescreva $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{3} - x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Etapa 1.3.5.7

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{3} - x^{2} + x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Etapa 1.3.5.8

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{3} - x^{2} + x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1$

Etapa 1.3.5.9

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{3} - x^{2} + x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1$

Etapa 1.3.5.10

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{3} - x^{2} + x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1$

Etapa 1.3.5.11

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{3} - x^{2} + x^{2} - x + x - 1$

Etapa 1.3.6

Combine os termos opostos em $x^{4} - x^{3} + x^{3} - x^{2} + x^{2} - x + x - 1$ .

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Etapa 1.3.6.1

Some $- x^{3}$ e $x^{3}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} + 0 - x^{2} + x^{2} - x + x - 1$

Etapa 1.3.6.2

Some $x^{4}$ e $0$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{2} + x^{2} - x + x - 1$

Etapa 1.3.6.3

Some $- x^{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} + 0 - x + x - 1$

Etapa 1.3.6.4

Some $x^{4}$ e $0$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x + x - 1$

Etapa 1.3.6.5

Some $- x$ e $x$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} + 0 - 1$

Etapa 1.3.6.6

Some $x^{4}$ e $0$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - 1$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = (x^{4} - 1) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int x^{4} - 1 d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Reordene $y^{2}$ e $1$ .

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int x^{4} - 1 d x$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int x^{4} - 1 d x$

Etapa 2.2.2

A integral de $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ com relação a $y$ é $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{4} - 1 d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{4} d x + \int - 1 d x$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{2} + \int - 1 d x$

Etapa 2.3.3

Aplique a regra da constante.

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{2} - x + C_{3}$

Etapa 2.3.4

Simplifique.

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} - x + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\arctan (y) = \frac{1}{5} x^{5} - x + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Calcule o arco tangente inverso dos dois lados da equação para extrair $y$ de dentro do arco tangente.

$y = \tan (\frac{1}{5} x^{5} - x + K)$

Etapa 3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.1

Combine $\frac{1}{5}$ e $x^{5}$ .

$y = \tan (\frac{x^{5}}{5} - x + K)$