Cálculo Exemplos

$d x - (y - 2 x y) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 1.2

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = - (y - 2 x y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (y - 2 x y)]$

Etapa 2.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- (y - 2 x y)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [y - 2 x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [y - 2 x y]$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y - 2 x y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 x y])$

Etapa 2.4

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x y])$

Etapa 2.5

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Etapa 2.6

Como $- 2 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x y$ em relação a $x$ é $- 2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (- 2 y \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.7

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (y \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \cdot 1$

Etapa 2.9

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $0$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2 y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$0 = 2 y$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$0 = 2 y$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $0$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Etapa 4.2

Substitua $2 y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - (2 y)}{N}$

Etapa 4.3

Substitua $- (y - 2 x y)$ por $N$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua $- (y - 2 x y)$ por $N$ .

$\frac{0 - (2 y)}{- (y - 2 x y)}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{0 - 2 y}{- (y - 2 x y)}$

Etapa 4.3.2.2

Subtraia $2 y$ de $0$ .

$\frac{- 2 y}{- (y - 2 x y)}$

Etapa 4.3.3

Fatore $y$ de $y - 2 x y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{- 2 y}{- (y^{1} - 2 x y)}$

Etapa 4.3.3.2

Fatore $y$ de $y^{1}$ .

$\frac{- 2 y}{- (y \cdot 1 - 2 x y)}$

Etapa 4.3.3.3

Fatore $y$ de $- 2 x y$ .

$\frac{- 2 y}{- (y \cdot 1 + y (- 2 x))}$

Etapa 4.3.3.4

Fatore $y$ de $y \cdot 1 + y (- 2 x)$ .

$\frac{- 2 y}{- (y (1 - 2 x))}$

$\frac{- 2 y}{- y (1 - 2 x)}$

Etapa 4.3.4

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 y}{- y (1 - 2 x)}$

Etapa 4.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{- 2}{- 1 (1 - 2 x)}$

Etapa 4.3.5

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{2}{1 - 2 x}$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{1 - 2 x} d x}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int \frac{2}{1 - 2 x} d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{1 - 2 x} d x}$

Etapa 5.2

Deixe $u = 1 - 2 x$ . Depois, $d u = - 2 d x$ , então, $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Deixe $u = 1 - 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Diferencie $1 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Etapa 5.2.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 5.2.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 5.2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Etapa 5.2.1.3.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$0 - 2$

Etapa 5.2.1.4

Subtraia $2$ de $0$ .

$- 2$

Etapa 5.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u}$

Etapa 5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u}$

Etapa 5.3.2

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{2 \int - \frac{1}{u \cdot 2} d u}$

Etapa 5.3.3

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$μ (x, y) = e^{2 \int - \frac{1}{2 u} d u}$

Etapa 5.4

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{2 (- \int \frac{1}{2 u} d u)}$

Etapa 5.5

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{2 u} d u}$

Etapa 5.6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)}$

Etapa 5.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Etapa 5.7.2

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Etapa 5.7.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u}$

Etapa 5.7.2.2.2

Cancele o fator comum.

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u}$

Etapa 5.7.2.2.3

Reescreva a expressão.

$μ (x, y) = e^{\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u}$

Etapa 5.7.2.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

Etapa 5.8

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| u |) + C)}$

Etapa 5.9

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| u |)} + C$

Etapa 5.10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 - 2 x$ .

$μ (x, y) = e^{- \ln (| 1 - 2 x |)} + C$

Etapa 5.11

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.11.1

Simplifique $- \ln (| 1 - 2 x |)$ movendo $- 1$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| 1 - 2 x |}^{- 1})} + C$

Etapa 5.11.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {| 1 - 2 x |}^{- 1} + C$

Etapa 5.11.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| 1 - 2 x |} + C$

Etapa 6

Multiplique $1$ por $\frac{1}{1 - 2 x}$ .

$d x - (y - 2 x y) d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - y d y$

Etapa 8

Integre $N (x, y) = - y$ para encontrar $f (x, y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$f (x, y) = - \int y d y$

Etapa 8.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Etapa 8.3

Reescreva $- (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ como $- \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{1 - 2 x}$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} + g (x)] = \frac{1}{1 - 2 x}$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1}{1 - 2 x}$

Etapa 11.3

Como $- \frac{1}{2} y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{1}{2} y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1}{1 - 2 x}$

Etapa 11.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + \frac{d g}{d x} = \frac{1}{1 - 2 x}$

Etapa 11.5

Some $0$ e $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{1 - 2 x}$

Etapa 12

Encontre a antiderivada de $\frac{1}{1 - 2 x}$ para encontrar $g (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = \frac{1}{1 - 2 x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{1 - 2 x} d x$

Etapa 12.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{1}{1 - 2 x} d x$

Etapa 12.3

Deixe $u = 1 - 2 x$ . Depois, $d u = - 2 d x$ , então, $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.1

Deixe $u = 1 - 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.1.1

Diferencie $1 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Etapa 12.3.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 12.3.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 12.3.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.1.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 12.3.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Etapa 12.3.1.3.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$0 - 2$

Etapa 12.3.1.4

Subtraia $2$ de $0$ .

$- 2$

Etapa 12.3.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$g (x) = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Etapa 12.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.4.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$g (x) = \int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Etapa 12.4.2

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \int - \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Etapa 12.4.3

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$g (x) = \int - \frac{1}{2 \cdot u} d u$

Etapa 12.4.4

Multiplique $2$ por $u$ .

$g (x) = \int - \frac{1}{2 u} d u$

Etapa 12.5

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$g (x) = - \int \frac{1}{2 u} d u$

Etapa 12.6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$g (x) = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Etapa 12.7

Remova os parênteses.

$g (x) = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 12.8

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$g (x) = - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Etapa 12.9

Simplifique.

$g (x) = - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Etapa 12.10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 - 2 x$ .

$g (x) = - \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 x |) + C$

Etapa 13

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 x |) + C$

Etapa 14

Simplifique $f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 x |) + C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1.1

Combine $y^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{2} - \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 x |) + C$

Etapa 14.1.2

Multiplique $- \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 x |)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1.2.1

Reordene $\ln (| 1 - 2 x |)$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 x |)) + C$

Etapa 14.1.2.2

Simplifique $\frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 x |)$ movendo $\frac{1}{2}$ para dentro do logaritmo.

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{2} - \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) + C$

Etapa 14.2

Para escrever $- \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}})$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{2} - \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) \cdot \frac{2}{2} + C$

Etapa 14.3

Combine $- \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}})$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{2} + \frac{- \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{2} + C$

Etapa 14.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (x, y) = \frac{- y^{2} - \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{2} + C$

Etapa 14.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.5.1

Multiplique $- \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.5.1.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f (x, y) = \frac{- y^{2} - 2 \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}})}{2} + C$

Etapa 14.5.1.2

Simplifique $- 2 \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}})$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$f (x, y) = \frac{- y^{2} - \ln ({({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}})}^{2})}{2} + C$

Etapa 14.5.2

Multiplique os expoentes em ${({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.5.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = \frac{- y^{2} - \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{2} + C$

Etapa 14.5.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = \frac{- y^{2} - \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{2} + C$

Etapa 14.5.2.2.2

Reescreva a expressão.

$f (x, y) = \frac{- y^{2} - \ln ({| 1 - 2 x |}^{1})}{2} + C$

Etapa 14.5.3

Simplifique.

$f (x, y) = \frac{- y^{2} - \ln (| 1 - 2 x |)}{2} + C$