Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \cos (4 x) - 2 x$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = (\cos (4 x) - 2 x) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int \cos (4 x) - 2 x d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int \cos (4 x) - 2 x d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{1} = \int \cos (4 x) d x + \int - 2 x d x$

Etapa 2.3.2

Deixe $u = 4 x$ . Depois, $d u = 4 d x$ , então, $\frac{1}{4} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.2.1

Deixe $u = 4 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Diferencie $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Etapa 2.3.2.1.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Etapa 2.3.2.1.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$4$

Etapa 2.3.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = \int \cos (u) \frac{1}{4} d u + \int - 2 x d x$

Etapa 2.3.3

Combine $\cos (u)$ e $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\cos (u)}{4} d u + \int - 2 x d x$

Etapa 2.3.4

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \int \cos (u) d u + \int - 2 x d x$

Etapa 2.3.5

A integral de $\cos (u)$ com relação a $u$ é $\sin (u)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\sin (u) + C_{2}) + \int - 2 x d x$

Etapa 2.3.6

Como $- 2$ é constante com relação a $x$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\sin (u) + C_{2}) - 2 \int x d x$

Etapa 2.3.7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\sin (u) + C_{2}) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Etapa 2.3.8

Simplifique.

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Etapa 2.3.8.1

Simplifique.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (u) - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.8.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.8.2.1

Combine $- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (u) + \frac{- 2}{2} x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.8.2.2

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 2.3.8.2.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (u) + \frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.8.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.3.8.2.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (u) + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.8.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (u) + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.8.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (u) + \frac{- 1}{1} x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.8.2.2.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (u) - x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (4 x) - x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.10

Reordene os termos.

$y + C_{1} = - x^{2} + \frac{1}{4} \sin (4 x) + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = - x^{2} + \frac{1}{4} \sin (4 x) + K$