Cálculo Exemplos

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \ln (x)$ , $y (1) = 2$

Etapa 1

Verifique se o lado esquerdo da equação é o resultado da derivada do termo $x^{2} y$ .

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} y' + y (2 x)$

Etapa 1.4

Substitua $\frac{d y}{d x}$ por $y'$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

Etapa 1.5

Remova os parênteses.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + y \cdot 2 x$

Etapa 1.6

Mova $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y$

Etapa 2

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = \ln (x)$

Etapa 3

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int \ln (x) d x$

Etapa 4

Integre o lado esquerdo.

$x^{2} y = \int \ln (x) d x$

Etapa 5

Integre o lado direito.

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Etapa 5.1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \ln (x)$ e $d v = 1$ .

$x^{2} y = \ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x$

Etapa 5.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.1

Combine $x$ e $\frac{1}{x}$ .

$x^{2} y = \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

Etapa 5.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{2} y = \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

Etapa 5.2.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{2} y = \ln (x) x - \int d x$

Etapa 5.3

Aplique a regra da constante.

$x^{2} y = \ln (x) x - (x + C)$

Etapa 5.4

Simplifique.

$x^{2} y = \ln (x) x - x + C$

Etapa 6

Divida cada termo em $x^{2} y = \ln (x) x - x + C$ por $x^{2}$ e simplifique.

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Etapa 6.1

Divida cada termo em $x^{2} y = \ln (x) x - x + C$ por $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\ln (x) x}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Etapa 6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\ln (x) x}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Etapa 6.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (x) x}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Etapa 6.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.3.1.1

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{2}$ .

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Etapa 6.3.1.1.1

Fatore $x$ de $\ln (x) x$ .

$y = \frac{x \ln (x)}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Etapa 6.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.3.1.1.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$y = \frac{x \ln (x)}{x \cdot x} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Etapa 6.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{x \ln (x)}{x \cdot x} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Etapa 6.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{\ln (x)}{x} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Etapa 6.3.1.2

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{2}$ .

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Etapa 6.3.1.2.1

Fatore $x$ de $- x$ .

$y = \frac{\ln (x)}{x} + \frac{x \cdot - 1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Etapa 6.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.3.1.2.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$y = \frac{\ln (x)}{x} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} + \frac{C}{x^{2}}$

Etapa 6.3.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{\ln (x)}{x} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} + \frac{C}{x^{2}}$

Etapa 6.3.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{\ln (x)}{x} + \frac{- 1}{x} + \frac{C}{x^{2}}$

Etapa 6.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + \frac{C}{x^{2}}$

Etapa 7

Use a condição inicial para encontrar o valor de $C$ , substituindo $1$ por $x$ e $2$ por $y$ em $y = \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + \frac{C}{x^{2}}$ .

$2 = \frac{\ln (1)}{1} - \frac{1}{1} + \frac{C}{1^{2}}$

Etapa 8

Resolva $C$ .

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Etapa 8.1

Reescreva a equação como $\frac{\ln (1)}{1} - \frac{1}{1} + \frac{C}{1^{2}} = 2$ .

$\frac{\ln (1)}{1} - \frac{1}{1} + \frac{C}{1^{2}} = 2$

Etapa 8.2

Simplifique $\frac{\ln (1)}{1} - \frac{1}{1} + \frac{C}{1^{2}}$ .

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Etapa 8.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\ln (1) - 1}{1} + \frac{C}{1^{2}} = 2$

Etapa 8.2.2

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$\frac{0 - 1}{1} + \frac{C}{1^{2}} = 2$

Etapa 8.2.3

Subtraia $1$ de $0$ .

$\frac{- 1}{1} + \frac{C}{1^{2}} = 2$

Etapa 8.2.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.2.4.1

Divida $- 1$ por $1$ .

$- 1 + \frac{C}{1^{2}} = 2$

Etapa 8.2.4.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$- 1 + \frac{C}{1} = 2$

Etapa 8.2.4.3

Divida $C$ por $1$ .

$- 1 + C = 2$

Etapa 8.3

Mova todos os termos que não contêm $C$ para o lado direito da equação.

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Etapa 8.3.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$C = 2 + 1$

Etapa 8.3.2

Some $2$ e $1$ .

$C = 3$

Etapa 9

Substitua $3$ por $C$ em $y = \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + \frac{C}{x^{2}}$ e simplifique.

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Etapa 9.1

Substitua $3$ por $C$ .

$y = \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + \frac{3}{x^{2}}$