Cálculo Exemplos

$x \cos^{2} (y) d x + \tan (y) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = x \cos^{2} (y)$ .

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Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x \cos^{2} (y)]$

Etapa 1.2

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x \cos^{2} (y)$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [\cos^{2} (y)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [\cos^{2} (y)]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = y^{2}$ e $g (y) = \cos (y)$ .

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Etapa 1.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [\cos (y)])$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (2 u \frac{d}{d y} [\cos (y)])$

Etapa 1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (2 \cos (y) \frac{d}{d y} [\cos (y)])$

Etapa 1.4

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \cdot x \cos (y) \frac{d}{d y} [\cos (y)]$

Etapa 1.5

A derivada de $\cos (y)$ em relação a $y$ é $- \sin (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cos (y) (- \sin (y))$

Etapa 1.6

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x \cos (y) \sin (y)$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = \tan (y)$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\tan (y)]$

Etapa 2.2

Como $\tan (y)$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\tan (y)$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $- 2 x \cos (y) \sin (y)$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $0$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 x \cos (y) \sin (y) = 0$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$- 2 x \cos (y) \sin (y) = 0$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $0$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Etapa 4.2

Substitua $- 2 x \cos (y) \sin (y)$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - (- 2 x \cos (y) \sin (y))}{M}$

Etapa 4.3

Substitua $x \cos^{2} (y)$ por $M$ .

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Etapa 4.3.1

Substitua $x \cos^{2} (y)$ por $M$ .

$\frac{0 - (- 2 x \cos (y) \sin (y))}{x \cos^{2} (y)}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.2.1

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{0 + 2 (x \cos (y) \sin (y))}{x \cos^{2} (y)}$

Etapa 4.3.2.2

Reordene $2$ e $x \cos (y) \sin (y)$ .

$\frac{0 + x \cos (y) \sin (y) \cdot 2}{x \cos^{2} (y)}$

Etapa 4.3.2.3

Adicione parênteses.

$\frac{0 + x \cos (y) (\sin (y) \cdot 2)}{x \cos^{2} (y)}$

Etapa 4.3.2.4

Adicione parênteses.

$\frac{0 + x (\cos (y) (\sin (y) \cdot 2))}{x \cos^{2} (y)}$

Etapa 4.3.2.5

Reordene $\cos (y)$ e $\sin (y) \cdot 2$ .

$\frac{0 + x (\sin (y) \cdot 2 \cos (y))}{x \cos^{2} (y)}$

Etapa 4.3.2.6

Reordene $\sin (y)$ e $2$ .

$\frac{0 + x (2 \cdot \sin (y) \cos (y))}{x \cos^{2} (y)}$

Etapa 4.3.2.7

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$\frac{0 + x \sin (2 y)}{x \cos^{2} (y)}$

Etapa 4.3.2.8

Some $0$ e $x \sin (2 y)$ .

$\frac{x \sin (2 y)}{x \cos^{2} (y)}$

Etapa 4.3.3

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 4.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \sin (2 y)}{x \cos^{2} (y)}$

Etapa 4.3.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sin (2 y)}{\cos^{2} (y)}$

Etapa 4.3.4

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$\frac{2 \sin (y) \cos (y)}{\cos^{2} (y)}$

Etapa 4.3.5

Cancele o fator comum de $\cos (y)$ e $\cos^{2} (y)$ .

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Etapa 4.3.5.1

Fatore $\cos (y)$ de $2 \sin (y) \cos (y)$ .

$\frac{\cos (y) (2 \sin (y))}{\cos^{2} (y)}$

Etapa 4.3.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.3.5.2.1

Fatore $\cos (y)$ de $\cos^{2} (y)$ .

$\frac{\cos (y) (2 \sin (y))}{\cos (y) \cos (y)}$

Etapa 4.3.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\cos (y) (2 \sin (y))}{\cos (y) \cos (y)}$

Etapa 4.3.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 \sin (y)}{\cos (y)}$

Etapa 4.3.6

Separe as frações.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)}$

Etapa 4.3.7

Converta de $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ em $\tan (y)$ .

$\frac{2}{1} \tan (y)$

Etapa 4.3.8

Substitua $x \cos^{2} (y)$ por $M$ .

$2 \tan (y)$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int 2 \tan (y) d y}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int 2 \tan (y) d y}$ .

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Etapa 5.1

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{2 \int \tan (y) d y}$

Etapa 5.2

A integral de $\tan (y)$ com relação a $y$ é $\ln (| \sec (y) |)$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| \sec (y) |) + C)}$

Etapa 5.3

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| \sec (y) |)} + C$

Etapa 5.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.4.1

Simplifique $2 \ln (| \sec (y) |)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| \sec (y) |}^{2})} + C$

Etapa 5.4.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {| \sec (y) |}^{2} + C$

Etapa 5.4.3

Remova o valor absoluto em ${| \sec (y) |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$μ (x, y) = \sec^{2} (y) + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $x \cos^{2} (y) d x + \tan (y) d y = 0$ pelo fator de integração $\sec^{2} (y)$ .

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Etapa 6.1

Multiplique $x \cos^{2} (y)$ por $\sec^{2} (y)$ .

$x \cos^{2} (y) \sec^{2} (y) d x + \tan (y) d y = 0$

Etapa 6.2

Reescreva $\sec (y)$ em termos de senos e cossenos.

$x \cos^{2} (y) {(\frac{1}{\cos (y)})}^{2} d x + \tan (y) d y = 0$

Etapa 6.3

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$x \cos^{2} (y) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (y)} d x + \tan (y) d y = 0$

Etapa 6.4

Cancele o fator comum de $\cos^{2} (y)$ .

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Etapa 6.4.1

Fatore $\cos^{2} (y)$ de $x \cos^{2} (y)$ .

$\cos^{2} (y) x \frac{1^{2}}{\cos^{2} (y)} d x + \tan (y) d y = 0$

Etapa 6.4.2

Cancele o fator comum.

$\cos^{2} (y) x \frac{1^{2}}{\cos^{2} (y)} d x + \tan (y) d y = 0$

Etapa 6.4.3

Reescreva a expressão.

$x \cdot 1^{2} d x + \tan (y) d y = 0$

Etapa 6.5

Um elevado a qualquer potência é um.

$x \cdot 1 d x + \tan (y) d y = 0$

Etapa 6.6

Multiplique $x$ por $1$ .

$x d x + \tan (y) d y = 0$

Etapa 6.7

Multiplique $\tan (y)$ por $\sec^{2} (y)$ .

$x d x + \tan (y) \sec^{2} (y) d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x d x$

Etapa 8

Integre $M (x, y) = x$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 8.1

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \tan (y) \sec^{2} (y)$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2} + g (y)] = \tan (y) \sec^{2} (y)$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \tan (y) \sec^{2} (y)$

Etapa 11.3

Como $\frac{1}{2} x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{1}{2} x^{2}$ em relação a $y$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \tan (y) \sec^{2} (y)$

Etapa 11.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + \frac{d g}{d y} = \tan (y) \sec^{2} (y)$

Etapa 11.5

Some $0$ e $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{d g}{d y} = \tan (y) \sec^{2} (y)$

Etapa 12

Encontre a antiderivada de $\tan (y) \sec^{2} (y)$ para encontrar $g (y)$ .

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Etapa 12.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = \tan (y) \sec^{2} (y)$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \tan (y) \sec^{2} (y) d y$

Etapa 12.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \tan (y) \sec^{2} (y) d y$

Etapa 12.3

Deixe $u = \sec (y)$ . Depois, $d u = \sec (y) \tan (y) d y$ , então, $\frac{1}{\sec (y) \tan (y)} d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 12.3.1

Deixe $u = \sec (y)$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 12.3.1.1

Diferencie $\sec (y)$ .

$\frac{d}{d y} [\sec (y)]$

Etapa 12.3.1.2

A derivada de $\sec (y)$ em relação a $y$ é $\sec (y) \tan (y)$ .

$\sec (y) \tan (y)$

Etapa 12.3.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$g (y) = \int u d u$

Etapa 12.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u$ com relação a $u$ é $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$g (y) = \frac{1}{2} u^{2} + C$

Etapa 12.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sec (y)$ .

$g (y) = \frac{1}{2} \sec^{2} (y) + C$

Etapa 13

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \sec^{2} (y) + C$

Etapa 14

Simplifique cada termo.

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Etapa 14.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \sec^{2} (y) + C$

Etapa 14.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sec^{2} (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{\sec^{2} (y)}{2} + C$