Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{y - 4}{5 x}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y - 4}$ .

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 4} \cdot \frac{y - 4}{5 x}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $y - 4$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 4} \cdot \frac{y - 4}{5 x}$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{5 x}$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y - 4} d y = \frac{1}{5 x} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y - 4} d y = \int \frac{1}{5 x} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Deixe $u = y - 4$ . Depois, $d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.2.1.1

Deixe $u = y - 4$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 2.2.1.1.1

Diferencie $y - 4$ .

$\frac{d}{d y} [y - 4]$

Etapa 2.2.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y - 4$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 4]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 4]$

Etapa 2.2.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 4]$

Etapa 2.2.1.1.4

Como $- 4$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 4$ em relação a $y$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.2.1.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{5 x} d x$

Etapa 2.2.2

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{5 x} d x$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y - 4$ .

$\ln (| y - 4 |) + C_{1} = \int \frac{1}{5 x} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $\frac{1}{5}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{5}$ para fora da integral.

$\ln (| y - 4 |) + C_{1} = \frac{1}{5} \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.3.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y - 4 |) + C_{1} = \frac{1}{5} (\ln (| x |) + C_{2})$

Etapa 2.3.3

Simplifique.

$\ln (| y - 4 |) + C_{1} = \frac{1}{5} \ln (| x |) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y - 4 |) = \frac{1}{5} \ln (| x |) + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.1.1

Combine $\frac{1}{5}$ e $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y - 4 |) = \frac{\ln (| x |)}{5} + C$

Etapa 3.2

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| y - 4 |) - \frac{\ln (| x |)}{5} = C$

Etapa 3.3

Para escrever $\ln (| y - 4 |)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$\ln (| y - 4 |) \cdot \frac{5}{5} - \frac{\ln (| x |)}{5} = C$

Etapa 3.4

Simplifique os termos.

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Etapa 3.4.1

Combine $\ln (| y - 4 |)$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\ln (| y - 4 |) \cdot 5}{5} - \frac{\ln (| x |)}{5} = C$

Etapa 3.4.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\ln (| y - 4 |) \cdot 5 - \ln (| x |)}{5} = C$

Etapa 3.5

Mova $5$ para a esquerda de $\ln (| y - 4 |)$ .

$\frac{5 \ln (| y - 4 |) - \ln (| x |)}{5} = C$

Etapa 3.6

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.6.1

Simplifique $\frac{5 \ln (| y - 4 |) - \ln (| x |)}{5}$ .

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Etapa 3.6.1.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.6.1.1.1

Simplifique $5 \ln (| y - 4 |)$ movendo $5$ para dentro do logaritmo.

$\frac{\ln ({| y - 4 |}^{5}) - \ln (| x |)}{5} = C$

Etapa 3.6.1.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y - 4 |}^{5}}{| x |})}{5} = C$

Etapa 3.6.1.2

Reescreva $\frac{\ln (\frac{{| y - 4 |}^{5}}{| x |})}{5}$ como $\frac{1}{5} \ln (\frac{{| y - 4 |}^{5}}{| x |})$ .

$\frac{1}{5} \ln (\frac{{| y - 4 |}^{5}}{| x |}) = C$

Etapa 3.6.1.3

Simplifique $\frac{1}{5} \ln (\frac{{| y - 4 |}^{5}}{| x |})$ movendo $\frac{1}{5}$ para dentro do logaritmo.

$\ln ({(\frac{{| y - 4 |}^{5}}{| x |})}^{\frac{1}{5}}) = C$

Etapa 3.6.1.4

Aplique a regra do produto a $\frac{{| y - 4 |}^{5}}{| x |}$ .

$\ln (\frac{{({| y - 4 |}^{5})}^{\frac{1}{5}}}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$

Etapa 3.6.1.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.6.1.5.1

Multiplique os expoentes em ${({| y - 4 |}^{5})}^{\frac{1}{5}}$ .

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Etapa 3.6.1.5.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{{| y - 4 |}^{5 (\frac{1}{5})}}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$

Etapa 3.6.1.5.1.2

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 3.6.1.5.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\ln (\frac{{| y - 4 |}^{5 (\frac{1}{5})}}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$

Etapa 3.6.1.5.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\ln (\frac{{| y - 4 |}^{1}}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$

Etapa 3.6.1.5.2

Simplifique.

$\ln (\frac{| y - 4 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$

Etapa 3.7

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| y - 4 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}})} = e^{C}$

Etapa 3.8

Reescreva $\ln (\frac{| y - 4 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y - 4 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}$

Etapa 3.9

Resolva $y$ .

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Etapa 3.9.1

Reescreva a equação como $\frac{| y - 4 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}} = e^{C}$ .

$\frac{| y - 4 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}} = e^{C}$

Etapa 3.9.2

Multiplique os dois lados por ${| x |}^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{| y - 4 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}} {| x |}^{\frac{1}{5}} = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{5}}$

Etapa 3.9.3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.9.3.1

Cancele o fator comum de ${| x |}^{\frac{1}{5}}$ .

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Etapa 3.9.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{| y - 4 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}} {| x |}^{\frac{1}{5}} = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{5}}$

Etapa 3.9.3.1.2

Reescreva a expressão.

$| y - 4 | = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{5}}$

Etapa 3.9.4

Resolva $y$ .

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Etapa 3.9.4.1

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y - 4 = \pm e^{C} {| x |}^{\frac{1}{5}}$

Etapa 3.9.4.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$y = \pm e^{C} {| x |}^{\frac{1}{5}} + 4$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 4.1

Simplifique a constante de integração.

$y = \pm C {| x |}^{\frac{1}{5}} + 4$

Etapa 4.2

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = C {| x |}^{\frac{1}{5}} + 4$