Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 5}{2 y - 1}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $2 y - 1$ .

$(2 y - 1) \frac{d y}{d x} = (2 y - 1) \frac{x^{2} + 5}{2 y - 1}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $2 y - 1$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$(2 y - 1) \frac{d y}{d x} = (2 y - 1) \frac{x^{2} + 5}{2 y - 1}$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$(2 y - 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} + 5$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$(2 y - 1) d y = (x^{2} + 5) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int 2 y - 1 d y = \int x^{2} + 5 d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 2 y d y + \int - 1 d y = \int x^{2} + 5 d x$

Etapa 2.2.2

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int y d y + \int - 1 d y = \int x^{2} + 5 d x$

Etapa 2.2.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int - 1 d y = \int x^{2} + 5 d x$

Etapa 2.2.4

Aplique a regra da constante.

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - y + C_{2} = \int x^{2} + 5 d x$

Etapa 2.2.5

Simplifique.

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Etapa 2.2.5.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - y + C_{2} = \int x^{2} + 5 d x$

Etapa 2.2.5.2

Simplifique.

$y^{2} - y + C_{3} = \int x^{2} + 5 d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$y^{2} - y + C_{3} = \int x^{2} d x + \int 5 d x$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y^{2} - y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \int 5 d x$

Etapa 2.3.3

Aplique a regra da constante.

$y^{2} - y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + 5 x + C_{5}$

Etapa 2.3.4

Simplifique.

$y^{2} - y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + 5 x + C_{6}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y^{2} - y = \frac{1}{3} x^{3} + 5 x + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$y^{2} - y = \frac{x^{3}}{3} + 5 x + K$

Etapa 3.2

Mova todas as expressões para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.2.1

Subtraia $\frac{x^{3}}{3}$ dos dois lados da equação.

$y^{2} - y - \frac{x^{3}}{3} = 5 x + K$

Etapa 3.2.2

Subtraia $5 x$ dos dois lados da equação.

$y^{2} - y - \frac{x^{3}}{3} - 5 x = K$

Etapa 3.2.3

Subtraia $K$ dos dois lados da equação.

$y^{2} - y - \frac{x^{3}}{3} - 5 x - K = 0$

Etapa 3.3

Multiplique pelo mínimo múltiplo comum $3$ . Depois, simplifique.

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Etapa 3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 y^{2} + 3 (- y) + 3 (- \frac{x^{3}}{3}) + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

Etapa 3.3.2

Simplifique.

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Etapa 3.3.2.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$3 y^{2} - 3 y + 3 (- \frac{x^{3}}{3}) + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

Etapa 3.3.2.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.3.2.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{x^{3}}{3}$ para o numerador.

$3 y^{2} - 3 y + 3 (\frac{- x^{3}}{3}) + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

Etapa 3.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$3 y^{2} - 3 y + 3 (\frac{- x^{3}}{3}) + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

Etapa 3.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$3 y^{2} - 3 y - x^{3} + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

Etapa 3.3.2.3

Multiplique $- 5$ por $3$ .

$3 y^{2} - 3 y - x^{3} - 15 x + 3 (- K) = 0$

Etapa 3.3.2.4

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$3 y^{2} - 3 y - x^{3} - 15 x - 3 K = 0$

Etapa 3.3.3

Mova $- 15 x$ .

$3 y^{2} - 3 y - x^{3} - 3 K - 15 x = 0$

Etapa 3.3.4

Mova $- 3 y$ .

$3 y^{2} - x^{3} - 3 K - 3 y - 15 x = 0$

Etapa 3.3.5

Reordene $3 y^{2}$ e $- x^{3}$ .

$- x^{3} + 3 y^{2} - 3 K - 3 y - 15 x = 0$

Etapa 3.4

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.5

Substitua os valores $a = 3$ , $b = - 3$ e $c = - x^{3} - 3 K - 15 x$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot (- x^{3} - 3 K - 15 x))}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.6

Simplifique.

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Etapa 3.6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.6.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3 \cdot (- x^{3} - 3 K - 15 x)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.6.1.2

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 12 \cdot (- x^{3} - 3 K - 15 x)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.6.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 12 (- x^{3}) - 12 (- 3 K) - 12 (- 15 x)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.6.1.4

Simplifique.

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Etapa 3.6.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 12$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 x^{3} - 12 (- 3 K) - 12 (- 15 x)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.6.1.4.2

Multiplique $- 3$ por $- 12$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 x^{3} + 36 K - 12 (- 15 x)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.6.1.4.3

Multiplique $- 15$ por $- 12$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 x^{3} + 36 K + 180 x}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.6.1.5

Fatore $3$ de $9 + 12 x^{3} + 36 K + 180 x$ .

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Etapa 3.6.1.5.1

Fatore $3$ de $9$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3) + 12 x^{3} + 36 K + 180 x}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.6.1.5.2

Fatore $3$ de $12 x^{3}$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3) + 3 (4 x^{3}) + 36 K + 180 x}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.6.1.5.3

Fatore $3$ de $36 K$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3) + 3 (4 x^{3}) + 3 (12 K) + 180 x}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.6.1.5.4

Fatore $3$ de $180 x$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3) + 3 (4 x^{3}) + 3 (12 K) + 3 (60 x)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.6.1.5.5

Fatore $3$ de $3 (3) + 3 (4 x^{3})$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 + 4 x^{3}) + 3 (12 K) + 3 (60 x)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.6.1.5.6

Fatore $3$ de $3 (3 + 4 x^{3}) + 3 (12 K)$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K) + 3 (60 x)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.6.1.5.7

Fatore $3$ de $3 (3 + 4 x^{3} + 12 K) + 3 (60 x)$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.6.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

Etapa 3.7

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + K + 60 x)}}{6}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + K + 60 x)}}{6}$