Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y}$ , $y (0) = - 5$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x}{y}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x}{y}$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$y \frac{d y}{d x} = x$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$y d y = x d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y d y = \int x d x$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x d x$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} x^{2} + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + K)$

Etapa 3.2.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

Etapa 3.2.2.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

Etapa 3.2.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} = x^{2} + 2 K$

Etapa 3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{x^{2} + 2 K}$

Etapa 3.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \sqrt{x^{2} + 2 K}$

Etapa 3.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \sqrt{x^{2} + 2 K}$

Etapa 3.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \sqrt{x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 2 K}$

$y = \sqrt{x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 2 K}$

$y = \sqrt{x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 2 K}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \sqrt{x^{2} + K}$

$y = - \sqrt{x^{2} + K}$

Etapa 5

Como $y$ é negativo na condição inicial $(0, - 5)$ , considere apenas $y = - \sqrt{x^{2} + K}$ para encontrar $K$ . Substitua $0$ por $x$ e $- 5$ por $y$ .

$- 5 = - \sqrt{0^{2} + K}$

Etapa 6

Resolva $K$ .

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Etapa 6.1

Reescreva a equação como $- \sqrt{0^{2} + K} = - 5$ .

$- \sqrt{0^{2} + K} = - 5$

Etapa 6.2

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${(- \sqrt{0^{2} + K})}^{2} = {(- 5)}^{2}$

Etapa 6.3

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 6.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{0^{2} + K}$ como ${(0^{2} + K)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(0^{2} + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 5)}^{2}$

Etapa 6.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.3.2.1

Simplifique ${(- {(0^{2} + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 6.3.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

${(- {(0 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 5)}^{2}$

Etapa 6.3.2.1.2

Some $0$ e $K$ .

${(- K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 5)}^{2}$

Etapa 6.3.2.1.3

Aplique a regra do produto a $- K^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 5)}^{2}$

Etapa 6.3.2.1.4

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$1 {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 5)}^{2}$

Etapa 6.3.2.1.5

Multiplique ${(K^{\frac{1}{2}})}^{2}$ por $1$ .

${(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 5)}^{2}$

Etapa 6.3.2.1.6

Multiplique os expoentes em ${(K^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 6.3.2.1.6.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$K^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 5)}^{2}$

Etapa 6.3.2.1.6.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.3.2.1.6.2.1

Cancele o fator comum.

$K^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 5)}^{2}$

Etapa 6.3.2.1.6.2.2

Reescreva a expressão.

$K^{1} = {(- 5)}^{2}$

Etapa 6.3.2.1.7

Simplifique.

$K = {(- 5)}^{2}$

Etapa 6.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.3.1

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$K = 25$

Etapa 7

Substitua $25$ por $K$ em $y = - \sqrt{x^{2} + K}$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Substitua $25$ por $K$ .

$y = - \sqrt{x^{2} + 25}$