Cálculo Exemplos

$(1 + \ln (x)) d x + (1 + \ln (y)) d y = 0$

Etapa 1

Subtraia $(1 + \ln (x)) d x$ dos dois lados da equação.

$(1 + \ln (y)) d y = - (1 + \ln (x)) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int 1 + \ln (y) d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\int d y + \int \ln (y) d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Etapa 2.2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} + \int \ln (y) d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Etapa 2.2.3

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \ln (y)$ e $d v = 1$ .

$y + C_{1} + \ln (y) y - \int y \frac{1}{y} d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Etapa 2.2.4

Simplifique.

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Etapa 2.2.4.1

Combine $y$ e $\frac{1}{y}$ .

$y + C_{1} + \ln (y) y - \int \frac{y}{y} d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Etapa 2.2.4.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 2.2.4.2.1

Cancele o fator comum.

$y + C_{1} + \ln (y) y - \int \frac{y}{y} d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Etapa 2.2.4.2.2

Reescreva a expressão.

$y + C_{1} + \ln (y) y - \int d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Etapa 2.2.5

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} + \ln (y) y - (y + C_{2}) = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Etapa 2.2.6

Simplifique.

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Etapa 2.2.6.1

Simplifique.

$y + \ln (y) y - y + C_{3} = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Etapa 2.2.6.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.6.2.1

Subtraia $y$ de $y$ .

$\ln (y) y + 0 + C_{3} = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Etapa 2.2.6.2.2

Some $\ln (y) y$ e $0$ .

$\ln (y) y + C_{3} = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Etapa 2.2.7

Reordene os termos.

$y \ln (y) + C_{3} = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y \ln (y) + C_{3} = - \int 1 + \ln (x) d x$

Etapa 2.3.2

Divida a integral única em várias integrais.

$y \ln (y) + C_{3} = - (\int d x + \int \ln (x) d x)$

Etapa 2.3.3

Aplique a regra da constante.

$y \ln (y) + C_{3} = - (x + C_{4} + \int \ln (x) d x)$

Etapa 2.3.4

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \ln (x)$ e $d v = 1$ .

$y \ln (y) + C_{3} = - (x + C_{4} + \ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x)$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

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Etapa 2.3.5.1

Combine $x$ e $\frac{1}{x}$ .

$y \ln (y) + C_{3} = - (x + C_{4} + \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x)$

Etapa 2.3.5.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 2.3.5.2.1

Cancele o fator comum.

$y \ln (y) + C_{3} = - (x + C_{4} + \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x)$

Etapa 2.3.5.2.2

Reescreva a expressão.

$y \ln (y) + C_{3} = - (x + C_{4} + \ln (x) x - \int d x)$

Etapa 2.3.6

Aplique a regra da constante.

$y \ln (y) + C_{3} = - (x + C_{4} + \ln (x) x - (x + C_{5}))$

Etapa 2.3.7

Simplifique.

$y \ln (y) + C_{3} = - \ln (x) x + C_{6}$

Etapa 2.3.8

Reordene os termos.

$y \ln (y) + C_{3} = - x \ln (x) + C_{6}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y \ln (y) = - x \ln (x) + K$