Cálculo Exemplos

$y^{2} d x + (x y + y^{2} - 1) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = y^{2}$ .

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Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = x y + y^{2} - 1$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y + y^{2} - 1]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x y + y^{2} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x y$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $y$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.4.1

Como $y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + 0 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.4.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + 0 + 0$

Etapa 2.5

Combine os termos.

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Etapa 2.5.1

Some $y$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + 0$

Etapa 2.5.2

Some $y$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y = y$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$2 y = y$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{y - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Etapa 4.2

Substitua $2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{y - (2 y)}{M}$

Etapa 4.3

Substitua $y^{2}$ por $M$ .

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Etapa 4.3.1

Substitua $y^{2}$ por $M$ .

$\frac{y - (2 y)}{y^{2}}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.2.1

Fatore $y$ de $y - 1 \cdot 2 y$ .

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Etapa 4.3.2.1.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{y^{1} - 1 \cdot 2 y}{y^{2}}$

Etapa 4.3.2.1.2

Fatore $y$ de $y^{1}$ .

$\frac{y \cdot 1 - 1 \cdot 2 y}{y^{2}}$

Etapa 4.3.2.1.3

Fatore $y$ de $- 1 \cdot 2 y$ .

$\frac{y \cdot 1 + y (- 1 \cdot 2)}{y^{2}}$

Etapa 4.3.2.1.4

Fatore $y$ de $y \cdot 1 + y (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{y (1 - 1 \cdot 2)}{y^{2}}$

Etapa 4.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{y (1 - 2)}{y^{2}}$

Etapa 4.3.2.3

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{y \cdot - 1}{y^{2}}$

Etapa 4.3.3

Cancele o fator comum de $y$ e $y^{2}$ .

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Etapa 4.3.3.1

Fatore $y$ de $y \cdot - 1$ .

$\frac{y (- 1)}{y^{2}}$

Etapa 4.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.3.3.2.1

Fatore $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{y (- 1)}{y \cdot y}$

Etapa 4.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{y \cdot - 1}{y \cdot y}$

Etapa 4.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{y}$

Etapa 4.3.4

Substitua $y^{2}$ por $M$ .

$- \frac{1}{y}$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ .

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Etapa 5.1

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

Etapa 5.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

Etapa 5.3

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

Etapa 5.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.4.1

Simplifique $- \ln (| y |)$ movendo $- 1$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

Etapa 5.4.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

Etapa 5.4.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $y^{2} d x + (x y + y^{2} - 1) d y = 0$ pelo fator de integração $\frac{1}{y}$ .

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Etapa 6.1

Multiplique $y^{2}$ por $\frac{1}{y}$ .

$y^{2} \frac{1}{y} d x + (x y + y^{2} - 1) d y = 0$

Etapa 6.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 6.2.1

Fatore $y$ de $y^{2}$ .

$y \cdot y \frac{1}{y} d x + (x y + y^{2} - 1) d y = 0$

Etapa 6.2.2

Cancele o fator comum.

$y \cdot y \frac{1}{y} d x + (x y + y^{2} - 1) d y = 0$

Etapa 6.2.3

Reescreva a expressão.

$y d x + (x y + y^{2} - 1) d y = 0$

Etapa 6.3

Multiplique $x y + y^{2} - 1$ por $\frac{1}{y}$ .

$y d x + (x y + y^{2} - 1) \frac{1}{y} d y = 0$

Etapa 6.4

Multiplique $x y + y^{2} - 1$ por $\frac{1}{y}$ .

$y d x + \frac{x y + y^{2} - 1}{y} d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y d x$

Etapa 8

Integre $M (x, y) = y$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 8.1

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = y x + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = y x + g (y)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x y + y^{2} - 1}{y}$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [y x + g (y)] = \frac{x y + y^{2} - 1}{y}$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y x + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y + y^{2} - 1}{y}$

Etapa 11.3

Avalie $\frac{d}{d y} [y x]$ .

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Etapa 11.3.1

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $y x$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y + y^{2} - 1}{y}$

Etapa 11.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y + y^{2} - 1}{y}$

Etapa 11.3.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$x + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y + y^{2} - 1}{y}$

Etapa 11.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$x + \frac{d g}{d y} = \frac{x y + y^{2} - 1}{y}$

Etapa 11.5

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} + x = \frac{x y + y^{2} - 1}{y}$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

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Etapa 12.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d y}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 12.1.1

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} = \frac{x y + y^{2} - 1}{y} - x$

Etapa 12.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.1.2.1

Divida a fração $\frac{x y + y^{2} - 1}{y}$ em duas frações.

$\frac{d g}{d y} = \frac{x y + y^{2}}{y} + \frac{- 1}{y} - x$

Etapa 12.1.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.1.2.2.1

Fatore $y$ de $x y + y^{2}$ .

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Etapa 12.1.2.2.1.1

Fatore $y$ de $x y$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{y x + y^{2}}{y} + \frac{- 1}{y} - x$

Etapa 12.1.2.2.1.2

Fatore $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{y x + y \cdot y}{y} + \frac{- 1}{y} - x$

Etapa 12.1.2.2.1.3

Fatore $y$ de $y x + y \cdot y$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{y (x + y)}{y} + \frac{- 1}{y} - x$

Etapa 12.1.2.2.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 12.1.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d g}{d y} = \frac{y (x + y)}{y} + \frac{- 1}{y} - x$

Etapa 12.1.2.2.2.2

Divida $x + y$ por $1$ .

$\frac{d g}{d y} = x + y + \frac{- 1}{y} - x$

Etapa 12.1.2.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d g}{d y} = x + y - \frac{1}{y} - x$

Etapa 12.1.3

Combine os termos opostos em $x + y - \frac{1}{y} - x$ .

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Etapa 12.1.3.1

Subtraia $x$ de $x$ .

$\frac{d g}{d y} = y - \frac{1}{y} + 0$

Etapa 12.1.3.2

Some $y - \frac{1}{y}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y - \frac{1}{y}$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $y - \frac{1}{y}$ para encontrar $g (y)$ .

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Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = y - \frac{1}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y - \frac{1}{y} d y$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y - \frac{1}{y} d y$

Etapa 13.3

Divida a integral única em várias integrais.

$g (y) = \int y d y + \int - \frac{1}{y} d y$

Etapa 13.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y^{2} + C + \int - \frac{1}{y} d y$

Etapa 13.5

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$g (y) = \frac{1}{2} y^{2} + C - \int \frac{1}{y} d y$

Etapa 13.6

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y^{2} + C - (\ln (| y |) + C)$

Etapa 13.7

Simplifique.

$g (y) = \frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C$

Etapa 14

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = y x + g (y)$ .

$f (x, y) = y x + \frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C$

Etapa 15

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = y x + \frac{y^{2}}{2} - \ln (| y |) + C$