Cálculo Exemplos

$y d x + (2 x + 1 - x y) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = y$ .

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Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = 2 x + 1 - x y$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x + 1 - x y]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 1 - x y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Etapa 2.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 + 0 + \frac{d}{d x} [- x y]$

Etapa 2.5

Avalie $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Etapa 2.5.1

Como $- y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x y$ em relação a $x$ é $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 + 0 - y \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 + 0 - y \cdot 1$

Etapa 2.5.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 + 0 - y$

Etapa 2.6

Simplifique.

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Etapa 2.6.1

Some $2$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 - y$

Etapa 2.6.2

Reordene os termos.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y + 2$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- y + 2$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = - y + 2$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$1 = - y + 2$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $- y + 2$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- y + 2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Etapa 4.2

Substitua $1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- y + 2 - 1}{M}$

Etapa 4.3

Substitua $y$ por $M$ .

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Etapa 4.3.1

Substitua $y$ por $M$ .

$\frac{- y + 2 - 1}{y}$

Etapa 4.3.2

Subtraia $1$ de $2$ .

$\frac{- y + 1}{y}$

Etapa 4.3.3

Fatore $- 1$ de $- y$ .

$\frac{- (y) + 1}{y}$

Etapa 4.3.4

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (y) - 1 (- 1)}{y}$

Etapa 4.3.5

Fatore $- 1$ de $- (y) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (y - 1)}{y}$

Etapa 4.3.6

Reescreva $- (y - 1)$ como $- 1 (y - 1)$ .

$\frac{- 1 (y - 1)}{y}$

Etapa 4.3.7

Substitua $y$ por $M$ .

$- \frac{y - 1}{y}$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{y - 1}{y} d y}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int - \frac{y - 1}{y} d y}$ .

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Etapa 5.1

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{y - 1}{y} d y}$

Etapa 5.2

Divida $y - 1$ por $y$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$y$

$0$

$y$

$1$

Etapa 5.2.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $y$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $y$ .

					$1$
	$y$	+	$0$		$y$	-	$1$

Etapa 5.2.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$1$
$y$	+	$0$		$y$	-	$1$
			+	$y$	+	$0$

Etapa 5.2.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $y + 0$ .

				$1$
$y$	+	$0$		$y$	-	$1$
			-	$y$	-	$0$

Etapa 5.2.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$1$
$y$	+	$0$		$y$	-	$1$
			-	$y$	-	$0$
					-	$1$

Etapa 5.2.6

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$μ (x, y) = e^{- \int 1 - \frac{1}{y} d y}$

Etapa 5.3

Divida a integral única em várias integrais.

$μ (x, y) = e^{- (\int d y + \int - \frac{1}{y} d y)}$

Etapa 5.4

Aplique a regra da constante.

$μ (x, y) = e^{- (y + C + \int - \frac{1}{y} d y)}$

Etapa 5.5

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- (y + C - \int \frac{1}{y} d y)}$

Etapa 5.6

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (y + C - (\ln (| y |) + C))}$

Etapa 5.7

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- y + \ln (| y |)} + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $y d x + (2 x + 1 - x y) d y = 0$ pelo fator de integração $e^{- y + \ln (y)}$ .

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Etapa 6.1

Multiplique $y$ por $e^{- y + \ln (y)}$ .

$y e^{- y + \ln (y)} d x + (2 x + 1 - x y) d y = 0$

Etapa 6.2

Multiplique $2 x + 1 - x y$ por $e^{- y + \ln (y)}$ .

$y e^{- y + \ln (y)} d x + (2 x + 1 - x y) e^{- y + \ln (y)} d y = 0$

Etapa 6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y e^{- y + \ln (y)} d x + (2 x e^{- y + \ln (y)} + 1 e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}) d y = 0$

Etapa 6.4

Multiplique $e^{- y + \ln (y)}$ por $1$ .

$y e^{- y + \ln (y)} d x + (2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}) d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y e^{- y + \ln (y)} d x$

Etapa 8

Integre $M (x, y) = y e^{- y + \ln (y)}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 8.1

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = y e^{- y + \ln (y)} x + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = y e^{- y + \ln (y)} x + g (y)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [y e^{- y + \ln (y)} x + g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y e^{- y + \ln (y)} x + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y e^{- y + \ln (y)} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y e^{- y + \ln (y)} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Etapa 11.3

Avalie $\frac{d}{d y} [y e^{- y + \ln (y)} x]$ .

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Etapa 11.3.1

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $y e^{- y + \ln (y)} x$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [y e^{- y + \ln (y)}]$ .

$x \frac{d}{d y} [y e^{- y + \ln (y)}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Etapa 11.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = y$ e $g (y) = e^{- y + \ln (y)}$ .

$x (y \frac{d}{d y} [e^{- y + \ln (y)}] + e^{- y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Etapa 11.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = e^{y}$ e $g (y) = - y + \ln (y)$ .

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Etapa 11.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- y + \ln (y)$ .

$x (y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- y + \ln (y)]) + e^{- y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Etapa 11.3.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x (y (e^{u} \frac{d}{d y} [- y + \ln (y)]) + e^{- y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Etapa 11.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- y + \ln (y)$ .

$x (y (e^{- y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [- y + \ln (y)]) + e^{- y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Etapa 11.3.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- y + \ln (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [\ln (y)]$ .

$x (y (e^{- y + \ln (y)} (\frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [\ln (y)])) + e^{- y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Etapa 11.3.5

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (y (e^{- y + \ln (y)} (- \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [\ln (y)])) + e^{- y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Etapa 11.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (y (e^{- y + \ln (y)} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [\ln (y)])) + e^{- y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Etapa 11.3.7

A derivada de $\ln (y)$ em relação a $y$ é $\frac{1}{y}$ .

$x (y (e^{- y + \ln (y)} (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{y})) + e^{- y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Etapa 11.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (y (e^{- y + \ln (y)} (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{y})) + e^{- y + \ln (y)} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Etapa 11.3.9

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$x (y (e^{- y + \ln (y)} (- 1 + \frac{1}{y})) + e^{- y + \ln (y)} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Etapa 11.3.10

Multiplique $e^{- y + \ln (y)}$ por $1$ .

$x (y (e^{- y + \ln (y)} (- 1 + \frac{1}{y})) + e^{- y + \ln (y)}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Etapa 11.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$x (y (e^{- y + \ln (y)} (- 1 + \frac{1}{y})) + e^{- y + \ln (y)}) + \frac{d g}{d y} = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Etapa 11.5

Simplifique.

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Etapa 11.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x (y (e^{- y + \ln (y)} (- 1 + \frac{1}{y}))) + x e^{- y + \ln (y)} + \frac{d g}{d y} = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Etapa 11.5.2

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} + e^{- y + \ln (y)} x y (- 1 + \frac{1}{y}) + e^{- y + \ln (y)} x = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Etapa 11.5.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.5.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d g}{d y} + e^{- y + \ln (y)} x y \cdot - 1 + e^{- y + \ln (y)} x y \frac{1}{y} + e^{- y + \ln (y)} x = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Etapa 11.5.3.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- y + \ln (y)} x y$ .

$\frac{d g}{d y} - 1 \cdot (e^{- y + \ln (y)} x y) + e^{- y + \ln (y)} x y \frac{1}{y} + e^{- y + \ln (y)} x = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Etapa 11.5.3.3

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 11.5.3.3.1

Fatore $y$ de $e^{- y + \ln (y)} x y$ .

$\frac{d g}{d y} - 1 \cdot (e^{- y + \ln (y)} x y) + y (e^{- y + \ln (y)} x) \frac{1}{y} + e^{- y + \ln (y)} x = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Etapa 11.5.3.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d g}{d y} - 1 \cdot (e^{- y + \ln (y)} x y) + y (e^{- y + \ln (y)} x) \frac{1}{y} + e^{- y + \ln (y)} x = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Etapa 11.5.3.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d g}{d y} - 1 \cdot (e^{- y + \ln (y)} x y) + e^{- y + \ln (y)} x + e^{- y + \ln (y)} x = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Etapa 11.5.3.4

Reescreva $- 1 (e^{- y + \ln (y)} x y)$ como $- (e^{- y + \ln (y)} x y)$ .

$\frac{d g}{d y} - e^{- y + \ln (y)} x y + e^{- y + \ln (y)} x + e^{- y + \ln (y)} x = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Etapa 11.5.4

Some $e^{- y + \ln (y)} x$ e $e^{- y + \ln (y)} x$ .

$\frac{d g}{d y} - e^{- y + \ln (y)} x y + 2 e^{- y + \ln (y)} x = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Etapa 11.5.5

Reordene os fatores em $\frac{d g}{d y} - e^{- y + \ln (y)} x y + 2 e^{- y + \ln (y)} x$ .

$\frac{d g}{d y} - x y e^{- y + \ln (y)} + 2 x e^{- y + \ln (y)} = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

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Etapa 12.1

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$- x y e^{- y + \ln (y)} + 2 x e^{- y + \ln (y)} - 2 x e^{- y + \ln (y)} - e^{- y + \ln (y)} + x y e^{- y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

Etapa 12.1.2

Combine os termos opostos em $- x y e^{- y + \ln (y)} + 2 x e^{- y + \ln (y)} - 2 x e^{- y + \ln (y)} - e^{- y + \ln (y)} + x y e^{- y + \ln (y)}$ .

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Etapa 12.1.2.1

Subtraia $2 x e^{- y + \ln (y)}$ de $2 x e^{- y + \ln (y)}$ .

$- x y e^{- y + \ln (y)} + 0 - e^{- y + \ln (y)} + x y e^{- y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

Etapa 12.1.2.2

Some $- x y e^{- y + \ln (y)}$ e $0$ .

$- x y e^{- y + \ln (y)} - e^{- y + \ln (y)} + x y e^{- y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

Etapa 12.1.2.3

Some $- x y e^{- y + \ln (y)}$ e $x y e^{- y + \ln (y)}$ .

$0 - e^{- y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

Etapa 12.1.2.4

Subtraia $e^{- y + \ln (y)}$ de $0$ .

$- e^{- y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

Etapa 12.1.3

Como $\frac{d g}{d y}$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$- \frac{d g}{d y} = - e^{- y + \ln (y)}$

Etapa 12.1.4

Divida cada termo em $- \frac{d g}{d y} = - e^{- y + \ln (y)}$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 12.1.4.1

Divida cada termo em $- \frac{d g}{d y} = - e^{- y + \ln (y)}$ por $- 1$ .

$\frac{- \frac{d g}{d y}}{- 1} = \frac{- e^{- y + \ln (y)}}{- 1}$

Etapa 12.1.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.4.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\frac{d g}{d y}}{1} = \frac{- e^{- y + \ln (y)}}{- 1}$

Etapa 12.1.4.2.2

Divida $\frac{d g}{d y}$ por $1$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{- e^{- y + \ln (y)}}{- 1}$

Etapa 12.1.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.4.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{d g}{d y} = \frac{e^{- y + \ln (y)}}{1}$

Etapa 12.1.4.3.2

Divida $e^{- y + \ln (y)}$ por $1$ .

$\frac{d g}{d y} = e^{- y + \ln (y)}$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $e^{- y + \ln (y)}$ para encontrar $g (y)$ .

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Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = e^{- y + \ln (y)}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int e^{- y + \ln (y)} d y$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int e^{- y + \ln (y)} d y$

Etapa 13.3

Reescreva $\int e^{- y + \ln (y)} d y$ como $\int e^{- y} e^{\ln (y)} d y$ .

$g (y) = \int e^{- y} e^{\ln (y)} d y$

Etapa 13.4

Reescreva $e^{\ln (y)}$ como $y$ .

$g (y) = \int e^{- y} y d y$

Etapa 13.5

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = y$ e $d v = e^{- y}$ .

$g (y) = y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y$

Etapa 13.6

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$g (y) = y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y$

Etapa 13.7

Simplifique.

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Etapa 13.7.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$g (y) = y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y$

Etapa 13.7.2

Multiplique $\int e^{- y} d y$ por $1$ .

$g (y) = y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y$

Etapa 13.8

Deixe $u = - y$ . Depois, $d u = - d y$ , então, $- d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 13.8.1

Deixe $u = - y$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 13.8.1.1

Diferencie $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Etapa 13.8.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 13.8.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 13.8.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 13.8.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$g (y) = y (- e^{- y}) + \int - e^{u} d u$

Etapa 13.9

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$g (y) = y (- e^{- y}) - \int e^{u} d u$

Etapa 13.10

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$g (y) = y (- e^{- y}) - (e^{u} + C)$

Etapa 13.11

Reescreva $y (- e^{- y}) - (e^{u} + C)$ como $- y e^{- y} - e^{u} + C$ .

$g (y) = - y e^{- y} - e^{u} + C$

Etapa 13.12

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- y$ .

$g (y) = - y e^{- y} - e^{- y} + C$

Etapa 14

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = y e^{- y + \ln (y)} x + g (y)$ .

$f (x, y) = y e^{- y + \ln (y)} x - y e^{- y} - e^{- y} + C$

Etapa 15

Reordene os fatores em $f (x, y) = y e^{- y + \ln (y)} x - y e^{- y} - e^{- y} + C$ .

$f (x, y) = y x e^{- y + \ln (y)} - y e^{- y} - e^{- y} + C$