Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = e^{- x^{2}}$ , $y (3) = 5$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = e^{- x^{2}} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int e^{- x^{2}} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int e^{- x^{2}} d x$

Etapa 2.3

$\int e^{- x^{2}} d x$ é uma integral especial. A integral é a função de erro.

$y + C_{1} = erf (x) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = erf (x) + K$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $3$ por $x$ e $5$ por $y$ em $y = erf (x) + K$ .

$5 = erf (x) + K$

Etapa 4

Resolva $K$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $e r f (x) + K = 5$ .

$e r f (x) + K = 5$

Etapa 4.2

Multiplique $e r f$ por $x$ .

$e r f x + K = 5$

Etapa 4.3

Subtraia $e r f x$ dos dois lados da equação.

$K = 5 - e r f x$

Etapa 5

Substitua $5 - e r f x$ por $K$ em $y = erf (x) + K$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $5 - e r f x$ por $K$ .

$y = erf (x) + 5 - e r f x$