Cálculo Exemplos

$2 y \frac{d y}{d x} = - 4 x$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$2 y d y = - 4 x d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int 2 y d y = \int - 4 x d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int y d y = \int - 4 x d x$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int - 4 x d x$

Etapa 2.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.2.3.1

Reescreva $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ como $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int - 4 x d x$

Etapa 2.2.3.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.3.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int - 4 x d x$

Etapa 2.2.3.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.2.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int - 4 x d x$

Etapa 2.2.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$1 y^{2} + C_{1} = \int - 4 x d x$

Etapa 2.2.3.2.3

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} + C_{1} = \int - 4 x d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- 4$ é constante com relação a $x$ , mova $- 4$ para fora da integral.

$y^{2} + C_{1} = - 4 \int x d x$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y^{2} + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Etapa 2.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.3.3.1

Reescreva $- 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ como $- 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$y^{2} + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.1

Combine $- 4$ e $\frac{1}{2}$ .

$y^{2} + C_{1} = \frac{- 4}{2} x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2.2

Cancele o fator comum de $- 4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.2.1

Fatore $2$ de $- 4$ .

$y^{2} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2} x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$y^{2} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$y^{2} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$y^{2} + C_{1} = \frac{- 2}{1} x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2.2.2.4

Divida $- 2$ por $1$ .

$y^{2} + C_{1} = - 2 x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y^{2} = - 2 x^{2} + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{- 2 x^{2} + K}$

Etapa 3.2

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.2.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \sqrt{- 2 x^{2} + K}$

Etapa 3.2.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \sqrt{- 2 x^{2} + K}$

Etapa 3.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \sqrt{- 2 x^{2} + K}$

$y = - \sqrt{- 2 x^{2} + K}$

$y = \sqrt{- 2 x^{2} + K}$

$y = - \sqrt{- 2 x^{2} + K}$

$y = \sqrt{- 2 x^{2} + K}$

$y = - \sqrt{- 2 x^{2} + K}$