Cálculo Exemplos

$(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x} + 2 y = {(x + 1)}^{2}$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Etapa 1.1

Divida cada termo em $(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x} + 2 y = {(x + 1)}^{2}$ por $x^{2} - 1$ .

$\frac{(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} - 1} + \frac{2 y}{x^{2} - 1} = \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $x^{2} - 1$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} - 1} + \frac{2 y}{x^{2} - 1} = \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Etapa 1.2.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x^{2} - 1} = \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Etapa 1.3

Fatore $y$ de $\frac{2 y}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{2}{x^{2} - 1} = \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Etapa 1.4

Reordene $y$ e $\frac{2}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x^{2} - 1} y = \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = \frac{2}{x^{2} - 1}$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int \frac{2}{x^{2} - 1} d x}$

Etapa 2.2

Integre $\frac{2}{x^{2} - 1}$ .

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Etapa 2.2.1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$e^{2 \int \frac{1}{x^{2} - 1} d x}$

Etapa 2.2.2

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

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Etapa 2.2.2.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 2.2.2.1.1

Fatore a fração.

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Etapa 2.2.2.1.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} - 1^{2}}$

Etapa 2.2.2.1.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$

Etapa 2.2.2.1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{x + 1}$

Etapa 2.2.2.1.3

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$

Etapa 2.2.2.1.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 2.2.2.1.5

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

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Etapa 2.2.2.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 2.2.2.1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 2.2.2.1.6

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

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Etapa 2.2.2.1.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 2.2.2.1.6.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 2.2.2.1.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.2.1.7.1

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.7.1.1

Cancele o fator comum.

$1 = \frac{A (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 2.2.2.1.7.1.2

Divida $(A) (x - 1)$ por $1$ .

$1 = (A) (x - 1) + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 2.2.2.1.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 2.2.2.1.7.3

Mova $- 1$ para a esquerda de $A$ .

$1 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 2.2.2.1.7.4

Reescreva $- 1 A$ como $- A$ .

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 2.2.2.1.7.5

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

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Etapa 2.2.2.1.7.5.1

Cancele o fator comum.

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 2.2.2.1.7.5.2

Divida $(B) (x + 1)$ por $1$ .

$1 = A x - A + (B) (x + 1)$

Etapa 2.2.2.1.7.6

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A x - A + B x + B \cdot 1$

Etapa 2.2.2.1.7.7

Multiplique $B$ por $1$ .

$1 = A x - A + B x + B$

Etapa 2.2.2.1.8

Mova $- A$ .

$1 = A x + B x - A + B$

Etapa 2.2.2.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 2.2.2.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = A + B$

Etapa 2.2.2.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = - 1 A + B$

Etapa 2.2.2.2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

Etapa 2.2.2.3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 2.2.2.3.1

Resolva $A$ em $0 = A + B$ .

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Etapa 2.2.2.3.1.1

Reescreva a equação como $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$1 = - 1 A + B$

Etapa 2.2.2.3.1.2

Subtraia $B$ dos dois lados da equação.

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

Etapa 2.2.2.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $- B$ em cada equação.

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Etapa 2.2.2.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $1 = - 1 A + B$ por $- B$ .

$1 = - 1 (- B) + B$

$A = - B$

Etapa 2.2.2.3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.2.3.2.2.1

Simplifique $- 1 (- B) + B$ .

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Etapa 2.2.2.3.2.2.1.1

Multiplique $- 1 (- B)$ .

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Etapa 2.2.2.3.2.2.1.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 = 1 B + B$

$A = - B$

Etapa 2.2.2.3.2.2.1.1.2

Multiplique $B$ por $1$ .

$1 = B + B$

$A = - B$

$1 = B + B$

$A = - B$

Etapa 2.2.2.3.2.2.1.2

Some $B$ e $B$ .

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

Etapa 2.2.2.3.3

Resolva $B$ em $1 = 2 B$ .

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Etapa 2.2.2.3.3.1

Reescreva a equação como $2 B = 1$ .

$2 B = 1$

$A = - B$

Etapa 2.2.2.3.3.2

Divida cada termo em $2 B = 1$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.3.3.2.1

Divida cada termo em $2 B = 1$ por $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Etapa 2.2.2.3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.2.3.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.2.2.3.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Etapa 2.2.2.3.3.2.2.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Etapa 2.2.2.3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $\frac{1}{2}$ em cada equação.

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Etapa 2.2.2.3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $A = - B$ por $\frac{1}{2}$ .

$A = - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

Etapa 2.2.2.3.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.2.3.4.2.1

Multiplique $- 1$ por $\frac{1}{2}$ .

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Etapa 2.2.2.3.5

Liste todas as soluções.

$A = - \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

Etapa 2.2.2.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{- \frac{1}{2}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Etapa 2.2.2.5

Simplifique.

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Etapa 2.2.2.5.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Etapa 2.2.2.5.2

Multiplique $\frac{1}{x + 1}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{(x + 1) \cdot 2} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Etapa 2.2.2.5.3

Mova $2$ para a esquerda de $x + 1$ .

$- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Etapa 2.2.2.5.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x - 1}$

Etapa 2.2.2.5.5

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x - 1}$ .

$e^{2 \int - \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2 (x - 1)} d x}$

Etapa 2.2.3

Divida a integral única em várias integrais.

$e^{2 (\int - \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)}$

Etapa 2.2.4

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{2 (- \int \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)}$

Etapa 2.2.5

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$e^{2 (- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 1} d x) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)}$

Etapa 2.2.6

Deixe $u_{1} = x + 1$ . Depois, $d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 2.2.6.1

Deixe $u_{1} = x + 1$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 2.2.6.1.1

Diferencie $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 2.2.6.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.6.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.6.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.2.6.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.2.6.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$e^{2 (- \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)}$

Etapa 2.2.7

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$e^{2 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)}$

Etapa 2.2.8

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$e^{2 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x - 1} d x)}$

Etapa 2.2.9

Deixe $u_{2} = x - 1$ . Depois, $d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.9.1

Deixe $u_{2} = x - 1$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.9.1.1

Diferencie $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 2.2.9.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.2.9.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.2.9.1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.2.9.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.2.9.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$e^{2 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})}$

Etapa 2.2.10

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$e^{2 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C))}$

Etapa 2.2.11

Simplifique.

$e^{2 (- \frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |)) + C}$

Etapa 2.2.12

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 2.2.12.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x + 1$ .

$e^{2 (- \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |)) + C}$

Etapa 2.2.12.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x - 1$ .

$e^{2 (- \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |)) + C}$

Etapa 2.2.13

Simplifique.

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Etapa 2.2.13.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.13.1.1

Combine $\ln (| x + 1 |)$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 (- \frac{\ln (| x + 1 |)}{2} + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |)) + C}$

Etapa 2.2.13.1.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $\ln (| x - 1 |)$ .

$e^{2 (- \frac{\ln (| x + 1 |)}{2} + \frac{\ln (| x - 1 |)}{2}) + C}$

Etapa 2.2.13.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e^{2 \frac{- \ln (| x + 1 |) + \ln (| x - 1 |)}{2} + C}$

Etapa 2.2.13.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.2.13.3.1

Cancele o fator comum.

$e^{2 \frac{- \ln (| x + 1 |) + \ln (| x - 1 |)}{2} + C}$

Etapa 2.2.13.3.2

Reescreva a expressão.

$e^{- \ln (| x + 1 |) + \ln (| x - 1 |) + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{- \ln (x + 1) + \ln (x - 1)}$

Etapa 2.4

Use a regra da multiplicação de potências logarítmica.

$e^{\ln ({(x + 1)}^{- 1}) + \ln (x - 1)}$

Etapa 2.5

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$e^{\ln ({(x + 1)}^{- 1} (x - 1))}$

Etapa 2.6

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

${(x + 1)}^{- 1} (x - 1)$

Etapa 2.7

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x + 1} (x - 1)$

Etapa 2.8

Multiplique $\frac{1}{x + 1}$ por $x - 1$ .

$\frac{x - 1}{x + 1}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $\frac{x - 1}{x + 1}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $\frac{x - 1}{x + 1}$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} \frac{d y}{d x} + \frac{x - 1}{x + 1} (\frac{2}{x^{2} - 1} y) = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Combine $\frac{x - 1}{x + 1}$ e $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{x - 1}{x + 1} (\frac{2}{x^{2} - 1} y) = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.2.2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{x - 1}{x + 1} (\frac{2}{x^{2} - 1^{2}} y) = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Etapa 3.2.2.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{x - 1}{x + 1} (\frac{2}{(x + 1) (x - 1)} y) = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Etapa 3.2.3

Combine $\frac{2}{(x + 1) (x - 1)}$ e $y$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{2 y}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Etapa 3.2.4

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

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Etapa 3.2.4.1

Fatore $x - 1$ de $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{2 y}{(x - 1) (x + 1)} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Etapa 3.2.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{2 y}{(x - 1) (x + 1)} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Etapa 3.2.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{2 y}{x + 1} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Etapa 3.2.5

Multiplique $\frac{1}{x + 1}$ por $\frac{2 y}{x + 1}$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{2 y}{(x + 1) (x + 1)} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Etapa 3.2.6

Eleve $x + 1$ à potência de $1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Etapa 3.2.7

Eleve $x + 1$ à potência de $1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Etapa 3.2.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{1 + 1}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Etapa 3.2.9

Some $1$ e $1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Etapa 3.3

Para escrever $\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Etapa 3.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de ${(x + 1)}^{2}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.4.1

Multiplique $\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1}$ por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1)}{(x + 1) (x + 1)} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Etapa 3.4.2

Eleve $x + 1$ à potência de $1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Etapa 3.4.3

Eleve $x + 1$ à potência de $1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Etapa 3.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{1 + 1}} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Etapa 3.4.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Etapa 3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1) + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Etapa 3.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(x \frac{d y}{d x} - 1 \frac{d y}{d x}) (x + 1) + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Etapa 3.6.2

Reescreva $- 1 \frac{d y}{d x}$ como $- \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{(x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x}) (x + 1) + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Etapa 3.6.3

Expanda $(x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x}) (x + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.6.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \frac{d y}{d x} (x + 1) - \frac{d y}{d x} (x + 1) + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Etapa 3.6.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \frac{d y}{d x} x + x \frac{d y}{d x} \cdot 1 - \frac{d y}{d x} (x + 1) + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Etapa 3.6.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \frac{d y}{d x} x + x \frac{d y}{d x} \cdot 1 - \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} \cdot 1 + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Etapa 3.6.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.6.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.6.4.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.6.4.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{x \cdot x \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} \cdot 1 - \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} \cdot 1 + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Etapa 3.6.4.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} \cdot 1 - \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} \cdot 1 + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Etapa 3.6.4.1.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} \cdot 1 + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Etapa 3.6.4.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Etapa 3.6.4.2

Subtraia $\frac{d y}{d x} x$ de $x \frac{d y}{d x}$ .

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Etapa 3.6.4.2.1

Mova $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} - 1 x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Etapa 3.6.4.2.2

Subtraia $x \frac{d y}{d x}$ de $x \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} + 0 - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Etapa 3.6.4.3

Some $x^{2} \frac{d y}{d x}$ e $0$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Etapa 3.7

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

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Etapa 3.7.1

Fatore $x + 1$ de ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x + 1) (x + 1)}{x^{2} - 1}$

Etapa 3.7.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x + 1) (x + 1)}{x^{2} - 1}$

Etapa 3.7.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = (x - 1) \frac{x + 1}{x^{2} - 1}$

Etapa 3.8

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.8.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = (x - 1) \frac{x + 1}{x^{2} - 1^{2}}$

Etapa 3.8.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = (x - 1) \frac{x + 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Etapa 3.9

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

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Etapa 3.9.1

Fatore $x - 1$ de $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = (x - 1) \frac{x + 1}{(x - 1) (x + 1)}$

Etapa 3.9.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = (x - 1) \frac{x + 1}{(x - 1) (x + 1)}$

Etapa 3.9.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x + 1}{x + 1}$

Etapa 3.10

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

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Etapa 3.10.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x + 1}{x + 1}$

Etapa 3.10.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = 1$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1} y] = 1$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1} y] d x = \int d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$\frac{x - 1}{x + 1} y = \int d x$

Etapa 7

Aplique a regra da constante.

$\frac{x - 1}{x + 1} y = x + C$

Etapa 8

Resolva $y$ .

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Etapa 8.1

Simplifique $\frac{x - 1}{x + 1} y$ .

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Etapa 8.1.1

Combine $\frac{x - 1}{x + 1}$ e $y$ .

$\frac{(x - 1) y}{x + 1} = x + C$

Etapa 8.1.2

Reordene os fatores em $\frac{(x - 1) y}{x + 1}$ .

$\frac{y (x - 1)}{x + 1} = x + C$

Etapa 8.2

Multiplique os dois lados por $x + 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x + 1} (x + 1) = (x + C) (x + 1)$

Etapa 8.3

Simplifique.

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Etapa 8.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.3.1.1

Simplifique $\frac{y (x - 1)}{x + 1} (x + 1)$ .

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Etapa 8.3.1.1.1

Simplifique os termos.

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Etapa 8.3.1.1.1.1

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

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Etapa 8.3.1.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (x - 1)}{x + 1} (x + 1) = (x + C) (x + 1)$

Etapa 8.3.1.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y (x - 1) = (x + C) (x + 1)$

Etapa 8.3.1.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y x + y \cdot - 1 = (x + C) (x + 1)$

Etapa 8.3.1.1.1.3

Mova $- 1$ para a esquerda de $y$ .

$y x - 1 \cdot y = (x + C) (x + 1)$

Etapa 8.3.1.1.2

Reescreva $- 1 y$ como $- y$ .

$y x - y = (x + C) (x + 1)$

Etapa 8.3.1.1.3

Reordene $y$ e $x$ .

$x y - y = (x + C) (x + 1)$

Etapa 8.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.2.1

Simplifique $(x + C) (x + 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1.1

Expanda $(x + C) (x + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 8.3.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x y - y = x (x + 1) + C (x + 1)$

Etapa 8.3.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x y - y = x \cdot x + x \cdot 1 + C (x + 1)$

Etapa 8.3.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x y - y = x \cdot x + x \cdot 1 + C x + C \cdot 1$

Etapa 8.3.2.1.2

Simplifique os termos.

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Etapa 8.3.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.3.2.1.2.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$x y - y = x^{2} + x \cdot 1 + C x + C \cdot 1$

Etapa 8.3.2.1.2.1.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$x y - y = x^{2} + x + C x + C \cdot 1$

Etapa 8.3.2.1.2.1.3

Multiplique $C$ por $1$ .

$x y - y = x^{2} + x + C x + C$

Etapa 8.3.2.1.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1.2.2.1

Mova $x$ .

$x y - y = x^{2} + C x + C + x$

Etapa 8.3.2.1.2.2.2

Reordene $x^{2}$ e $C x$ .

$x y - y = C x + x^{2} + C + x$

Etapa 8.4

Resolva $y$ .

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Etapa 8.4.1

Fatore $y$ de $x y - y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.1.1

Fatore $y$ de $x y$ .

$y x - y = C x + x^{2} + C + x$

Etapa 8.4.1.2

Fatore $y$ de $- y$ .

$y x + y \cdot - 1 = C x + x^{2} + C + x$

Etapa 8.4.1.3

Fatore $y$ de $y x + y \cdot - 1$ .

$y (x - 1) = C x + x^{2} + C + x$

Etapa 8.4.2

Divida cada termo em $y (x - 1) = C x + x^{2} + C + x$ por $x - 1$ e simplifique.

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Etapa 8.4.2.1

Divida cada termo em $y (x - 1) = C x + x^{2} + C + x$ por $x - 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{C x}{x - 1} + \frac{x^{2}}{x - 1} + \frac{C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Etapa 8.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

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Etapa 8.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{C x}{x - 1} + \frac{x^{2}}{x - 1} + \frac{C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Etapa 8.4.2.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{C x}{x - 1} + \frac{x^{2}}{x - 1} + \frac{C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Etapa 8.4.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.4.2.3.1

Simplifique os termos.

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Etapa 8.4.2.3.1.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{C x + x^{2}}{x - 1} + \frac{C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Etapa 8.4.2.3.1.2

Fatore $x$ de $C x + x^{2}$ .

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Etapa 8.4.2.3.1.2.1

Fatore $x$ de $C x$ .

$y = \frac{x C + x^{2}}{x - 1} + \frac{C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Etapa 8.4.2.3.1.2.2

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$y = \frac{x C + x \cdot x}{x - 1} + \frac{C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Etapa 8.4.2.3.1.2.3

Fatore $x$ de $x C + x \cdot x$ .

$y = \frac{x (C + x)}{x - 1} + \frac{C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Etapa 8.4.2.3.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{x (C + x) + C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Etapa 8.4.2.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.4.2.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{x C + x \cdot x + C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Etapa 8.4.2.3.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$y = \frac{x C + x^{2} + C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Etapa 8.4.2.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{x C + x^{2} + C + x}{x - 1}$

Etapa 8.4.2.3.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.4.2.3.4.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 8.4.2.3.4.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$y = \frac{x C + x^{2} + C + x}{x - 1}$

Etapa 8.4.2.3.4.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$y = \frac{x (C + x) + 1 (C + x)}{x - 1}$

Etapa 8.4.2.3.4.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $C + x$ .

$y = \frac{(C + x) (x + 1)}{x - 1}$