Cálculo Exemplos

$e^{x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x} y = 1$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Etapa 1.1

Divida cada termo em $e^{x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x} y = 1$ por $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d y}{d x}}{e^{x}} + \frac{2 e^{x} y}{e^{x}} = \frac{1}{e^{x}}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $e^{x}$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{x} \frac{d y}{d x}}{e^{x}} + \frac{2 e^{x} y}{e^{x}} = \frac{1}{e^{x}}$

Etapa 1.2.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 e^{x} y}{e^{x}} = \frac{1}{e^{x}}$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $e^{x}$ .

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Etapa 1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 e^{x} y}{e^{x}} = \frac{1}{e^{x}}$

Etapa 1.3.2

Divida $2 y$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{1}{e^{x}}$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = 2$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int 2 d x}$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$e^{2 x + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{2 x}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{2 x}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + e^{2 x} (2 y) = e^{2 x} \frac{1}{e^{x}}$

Etapa 3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} \frac{1}{e^{x}}$

Etapa 3.3

Combine $e^{2 x}$ e $\frac{1}{e^{x}}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = \frac{e^{2 x}}{e^{x}}$

Etapa 3.4

Cancele o fator comum de $e^{2 x}$ e $e^{x}$ .

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Etapa 3.4.1

Fatore $e^{x}$ de $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = \frac{e^{x} e^{x}}{e^{x}}$

Etapa 3.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.4.2.1

Multiplique por $1$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = \frac{e^{x} e^{x}}{e^{x} \cdot 1}$

Etapa 3.4.2.2

Cancele o fator comum.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = \frac{e^{x} e^{x}}{e^{x} \cdot 1}$

Etapa 3.4.2.3

Reescreva a expressão.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = \frac{e^{x}}{1}$

Etapa 3.4.2.4

Divida $e^{x}$ por $1$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{x}$

Etapa 3.5

Reordene os fatores em $e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 y e^{2 x} = e^{x}$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] = e^{x}$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] d x = \int e^{x} d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$e^{2 x} y = \int e^{x} d x$

Etapa 7

A integral de $e^{x}$ com relação a $x$ é $e^{x}$ .

$e^{2 x} y = e^{x} + C$

Etapa 8

Divida cada termo em $e^{2 x} y = e^{x} + C$ por $e^{2 x}$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $e^{2 x} y = e^{x} + C$ por $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{e^{x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $e^{2 x}$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{e^{x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{e^{x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.1

Cancele o fator comum de $e^{x}$ e $e^{2 x}$ .

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Etapa 8.3.1.1

Fatore $e^{2 x}$ de $e^{x}$ .

$y = \frac{e^{2 x} e^{- x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.3.1.2.1

Multiplique por $1$ .

$y = \frac{e^{2 x} e^{- x}}{e^{2 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{e^{2 x} e^{- x}}{e^{2 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{e^{- x}}{1} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.1.2.4

Divida $e^{- x}$ por $1$ .

$y = e^{- x} + \frac{C}{e^{2 x}}$