Cálculo Exemplos

$x e^{- t} \frac{d x}{d t} = t$ given the initial condition that $x (0) = 1$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Divida cada termo em $x e^{- t} \frac{d x}{d t} = t$ por $x e^{- t}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Divida cada termo em $x e^{- t} \frac{d x}{d t} = t$ por $x e^{- t}$ .

$\frac{x e^{- t} \frac{d x}{d t}}{x e^{- t}} = \frac{t}{x e^{- t}}$

Etapa 1.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x e^{- t} \frac{d x}{d t}}{x e^{- t}} = \frac{t}{x e^{- t}}$

Etapa 1.1.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{e^{- t} \frac{d x}{d t}}{e^{- t}} = \frac{t}{x e^{- t}}$

Etapa 1.1.2.2

Cancele o fator comum de $e^{- t}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{- t} \frac{d x}{d t}}{e^{- t}} = \frac{t}{x e^{- t}}$

Etapa 1.1.2.2.2

Divida $\frac{d x}{d t}$ por $1$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{t}{x e^{- t}}$

Etapa 1.2

Reagrupe os fatores.

$\frac{d x}{d t} = \frac{t}{e^{- t}} \cdot \frac{1}{x}$

Etapa 1.3

Multiplique os dois lados por $x$ .

$x \frac{d x}{d t} = x (\frac{t}{e^{- t}} \cdot \frac{1}{x})$

Etapa 1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Combine.

$x \frac{d x}{d t} = x \frac{t \cdot 1}{e^{- t} x}$

Etapa 1.4.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Fatore $x$ de $e^{- t} x$ .

$x \frac{d x}{d t} = x \frac{t \cdot 1}{x e^{- t}}$

Etapa 1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$x \frac{d x}{d t} = x \frac{t \cdot 1}{x e^{- t}}$

Etapa 1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$x \frac{d x}{d t} = \frac{t \cdot 1}{e^{- t}}$

Etapa 1.4.3

Multiplique $t$ por $1$ .

$x \frac{d x}{d t} = \frac{t}{e^{- t}}$

Etapa 1.5

Reescreva a equação.

$x d x = \frac{t}{e^{- t}} d t$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int x d x = \int \frac{t}{e^{- t}} d t$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int \frac{t}{e^{- t}} d t$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Negative o expoente de $e^{- t}$ e o mova para fora do denominador.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t {(e^{- t})}^{- 1} d t$

Etapa 2.3.1.2

Multiplique os expoentes em ${(e^{- t})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t e^{- t \cdot - 1} d t$

Etapa 2.3.1.2.2

Multiplique $- t \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.2.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t e^{1 t} d t$

Etapa 2.3.1.2.2.2

Multiplique $t$ por $1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

Etapa 2.3.2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = t$ e $d v = e^{t}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = t e^{t} - \int e^{t} d t$

Etapa 2.3.3

A integral de $e^{t}$ com relação a $t$ é $e^{t}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = t e^{t} - (e^{t} + C_{2})$

Etapa 2.3.4

Simplifique.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = t e^{t} - e^{t} + C_{2}$

Etapa 2.3.5

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = e^{t} t - e^{t} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{2} x^{2} = e^{t} t - e^{t} + K$

Etapa 3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2}) = 2 (e^{t} t - e^{t} + K)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} x^{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$2 \frac{x^{2}}{2} = 2 (e^{t} t - e^{t} + K)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{x^{2}}{2} = 2 (e^{t} t - e^{t} + K)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{2} = 2 (e^{t} t - e^{t} + K)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique $2 (e^{t} t - e^{t} + K)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} = 2 (e^{t} t) + 2 (- e^{t}) + 2 K$

Etapa 3.2.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$x^{2} = 2 e^{t} t - 2 e^{t} + 2 K$

Etapa 3.2.2.1.3

Reordene os fatores em $2 e^{t} t - 2 e^{t} + 2 K$ .

$x^{2} = 2 t e^{t} - 2 e^{t} + 2 K$

Etapa 3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{2 t e^{t} - 2 e^{t} + 2 K}$

Etapa 3.4

Fatore $2$ de $2 t e^{t} - 2 e^{t} + 2 K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Fatore $2$ de $2 t e^{t}$ .

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t}) - 2 e^{t} + 2 K}$

Etapa 3.4.2

Fatore $2$ de $- 2 e^{t}$ .

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t}) + 2 (- e^{t}) + 2 K}$

Etapa 3.4.3

Fatore $2$ de $2 K$ .

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t}) + 2 (- e^{t}) + 2 K}$

Etapa 3.4.4

Fatore $2$ de $2 (t e^{t}) + 2 (- e^{t})$ .

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t}) + 2 K}$

Etapa 3.4.5

Fatore $2$ de $2 (t e^{t} - e^{t}) + 2 K$ .

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

Etapa 3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

Etapa 3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

Etapa 3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = - \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = - \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = - \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

Etapa 4

Como $x$ é positivo na condição inicial $(0, 1)$ , considere apenas $x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$ para encontrar $K$ . Substitua $0$ por $t$ e $1$ por $x$ .

$1 = \sqrt{2 (0 e^{0} - e^{0} + K)}$

Etapa 5

Resolva $K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Reescreva a equação como $\sqrt{2 (0 e^{0} - e^{0} + K)} = 1$ .

$\sqrt{2 (0 e^{0} - e^{0} + K)} = 1$

Etapa 5.2

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{2 (0 e^{0} - e^{0} + K)}}^{2} = 1^{2}$

Etapa 5.3

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2 (0 e^{0} - e^{0} + K)}$ como ${(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Simplifique ${({(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Etapa 5.3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Etapa 5.3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{1} = 1^{2}$

Etapa 5.3.2.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.2.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

${(2 (0 \cdot 1 - e^{0} + K))}^{1} = 1^{2}$

Etapa 5.3.2.1.2.2

Multiplique $0$ por $1$ .

${(2 (0 - e^{0} + K))}^{1} = 1^{2}$

Etapa 5.3.2.1.2.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

${(2 (0 - 1 \cdot 1 + K))}^{1} = 1^{2}$

Etapa 5.3.2.1.2.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

${(2 (0 - 1 + K))}^{1} = 1^{2}$

Etapa 5.3.2.1.3

Simplifique multiplicando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.3.1

Subtraia $1$ de $0$ .

${(2 (- 1 + K))}^{1} = 1^{2}$

Etapa 5.3.2.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

${(2 \cdot - 1 + 2 K)}^{1} = 1^{2}$

Etapa 5.3.2.1.3.3

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.3.3.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

${(- 2 + 2 K)}^{1} = 1^{2}$

Etapa 5.3.2.1.3.3.2

Simplifique.

$- 2 + 2 K = 1^{2}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$- 2 + 2 K = 1$

Etapa 5.4

Resolva $K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Mova todos os termos que não contêm $K$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$2 K = 1 + 2$

Etapa 5.4.1.2

Some $1$ e $2$ .

$2 K = 3$

Etapa 5.4.2

Divida cada termo em $2 K = 3$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Divida cada termo em $2 K = 3$ por $2$ .

$\frac{2 K}{2} = \frac{3}{2}$

Etapa 5.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 K}{2} = \frac{3}{2}$

Etapa 5.4.2.2.1.2

Divida $K$ por $1$ .

$K = \frac{3}{2}$

Etapa 6

Substitua $\frac{3}{2}$ por $K$ em $x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua $\frac{3}{2}$ por $K$ .

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + \frac{3}{2})}$

Etapa 6.2

Reordene os termos.

$x = \sqrt{2 (e^{t} t + \frac{3}{2} - e^{t})}$

Etapa 6.3

Para escrever $e^{t} t$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = \sqrt{2 (e^{t} t \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2} - e^{t})}$

Etapa 6.4

Combine $e^{t} t$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \sqrt{2 (\frac{e^{t} t \cdot 2}{2} + \frac{3}{2} - e^{t})}$

Etapa 6.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \sqrt{2 (\frac{e^{t} t \cdot 2 + 3}{2} - e^{t})}$

Etapa 6.6

Mova $2$ para a esquerda de $e^{t} t$ .

$x = \sqrt{2 (\frac{2 e^{t} t + 3}{2} - e^{t})}$

Etapa 6.7

Para escrever $- e^{t}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = \sqrt{2 (\frac{2 e^{t} t + 3}{2} - e^{t} \cdot \frac{2}{2})}$

Etapa 6.8

Combine $- e^{t}$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \sqrt{2 (\frac{2 e^{t} t + 3}{2} + \frac{- e^{t} \cdot 2}{2})}$

Etapa 6.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \sqrt{2 \frac{2 e^{t} t + 3 - e^{t} \cdot 2}{2}}$

Etapa 6.10

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$x = \sqrt{2 \frac{2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}}{2}}$

Etapa 6.11

Combine $2$ e $\frac{2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}}{2}$ .

$x = \sqrt{\frac{2 (2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t})}{2}}$

Etapa 6.12

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.12.1

Reduza a expressão $\frac{2 (2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t})}{2}$ cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.12.1.1

Cancele o fator comum.

$x = \sqrt{\frac{2 (2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t})}{2}}$

Etapa 6.12.1.2

Reescreva a expressão.

$x = \sqrt{\frac{2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}}{1}}$

Etapa 6.12.2

Divida $2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}$ por $1$ .

$x = \sqrt{2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}}$

Etapa 6.13

Reordene os fatores em $x = \sqrt{2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}}$ .

$x = \sqrt{2 t e^{t} + 3 - 2 e^{t}}$