Cálculo Exemplos

$(3 x y + 3 y - 4) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = 3 x y + 3 y - 4$ .

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Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x y + 3 y - 4]$

Etapa 1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x y + 3 y - 4$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [- 4]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [- 4]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [3 x y]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $3 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $3 x y$ em relação a $y$ é $3 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [- 4]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [- 4]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + \frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [- 4]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d y} [3 y]$ .

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Etapa 1.4.1

Como $3$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $3 y$ em relação a $y$ é $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + 3 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 4]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 4]$

Etapa 1.4.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + 3 + \frac{d}{d y} [- 4]$

Etapa 1.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.5.1

Como $- 4$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 4$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + 3 + 0$

Etapa 1.5.2

Some $3 x + 3$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + 3$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = {(x + 1)}^{2}$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]$

Etapa 2.2

Reescreva ${(x + 1)}^{2}$ como $(x + 1) (x + 1)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [(x + 1) (x + 1)]$

Etapa 2.3

Expanda $(x + 1) (x + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (x + 1) + 1 (x + 1)]$

Etapa 2.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)]$

Etapa 2.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1]$

Etapa 2.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.4.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1]$

Etapa 2.4.1.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1]$

Etapa 2.4.1.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + x + x + 1 \cdot 1]$

Etapa 2.4.1.4

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + x + x + 1]$

Etapa 2.4.2

Some $x$ e $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

Etapa 2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 2 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.7

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.9

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.10

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 + 0$

Etapa 2.11

Some $2 x + 2$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $3 x + 3$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2 x + 2$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 x + 3 = 2 x + 2$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$3 x + 3 = 2 x + 2$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $3 x + 3$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{3 x + 3 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Etapa 4.2

Substitua $2 x + 2$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{3 x + 3 - (2 x + 2)}{N}$

Etapa 4.3

Substitua ${(x + 1)}^{2}$ por $N$ .

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Etapa 4.3.1

Substitua ${(x + 1)}^{2}$ por $N$ .

$\frac{3 x + 3 - (2 x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x + 3 - (2 x) - 1 \cdot 2}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 4.3.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{3 x + 3 - 2 x - 1 \cdot 2}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 4.3.2.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{3 x + 3 - 2 x - 2}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 4.3.2.4

Subtraia $2 x$ de $3 x$ .

$\frac{x + 3 - 2}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 4.3.2.5

Subtraia $2$ de $3$ .

$\frac{x + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 4.3.3

Cancele o fator comum de $x + 1$ e ${(x + 1)}^{2}$ .

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Etapa 4.3.3.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 4.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.3.3.2.1

Fatore $x + 1$ de ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 1}{(x + 1) (x + 1)}$

Etapa 4.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(x + 1) \cdot 1}{(x + 1) (x + 1)}$

Etapa 4.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{x + 1}$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x + 1} d x}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int \frac{1}{x + 1} d x}$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u = x + 1$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.1.1

Deixe $u = x + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 5.1.1.1

Diferencie $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 5.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 5.1.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 5.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{u} d u}$

Etapa 5.2

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| u |) + C}$

Etapa 5.3

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{\ln (| u |)} + C$

Etapa 5.4

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = | u | + C$

Etapa 5.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 1$ .

$μ (x, y) = | x + 1 | + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $(3 x y + 3 y - 4) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$ pelo fator de integração $x + 1$ .

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Etapa 6.1

Multiplique $3 x y + 3 y - 4$ por $x + 1$ .

$(3 x y + 3 y - 4) (x + 1) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

Etapa 6.2

Expanda $(3 x y + 3 y - 4) (x + 1)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$(3 x y x + 3 x y \cdot 1 + 3 y x + 3 y \cdot 1 - 4 x - 4 \cdot 1) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

Etapa 6.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.3.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 6.3.1.1

Mova $x$ .

$(3 (x \cdot x) y + 3 x y \cdot 1 + 3 y x + 3 y \cdot 1 - 4 x - 4 \cdot 1) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

Etapa 6.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$(3 x^{2} y + 3 x y \cdot 1 + 3 y x + 3 y \cdot 1 - 4 x - 4 \cdot 1) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

Etapa 6.3.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$(3 x^{2} y + 3 x y + 3 y x + 3 y \cdot 1 - 4 x - 4 \cdot 1) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

Etapa 6.3.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$(3 x^{2} y + 3 x y + 3 y x + 3 y - 4 x - 4 \cdot 1) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

Etapa 6.3.4

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$(3 x^{2} y + 3 x y + 3 y x + 3 y - 4 x - 4) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

Etapa 6.4

Some $3 x y$ e $3 y x$ .

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Etapa 6.4.1

Mova $y$ .

$(3 x^{2} y + 3 x y + 3 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

Etapa 6.4.2

Some $3 x y$ e $3 x y$ .

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

Etapa 6.5

Multiplique ${(x + 1)}^{2}$ por $x + 1$ .

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + {(x + 1)}^{2} (x + 1) d y = 0$

Etapa 6.6

Multiplique ${(x + 1)}^{2}$ por $x + 1$ somando os expoentes.

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Etapa 6.6.1

Multiplique ${(x + 1)}^{2}$ por $x + 1$ .

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Etapa 6.6.1.1

Eleve $x + 1$ à potência de $1$ .

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + {(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{1} d y = 0$

Etapa 6.6.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + {(x + 1)}^{2 + 1} d y = 0$

Etapa 6.6.2

Some $2$ e $1$ .

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + {(x + 1)}^{3} d y = 0$

Etapa 6.7

Use o teorema binomial.

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + (x^{3} + 3 x^{2} \cdot 1 + 3 x \cdot 1^{2} + 1^{3}) d y = 0$

Etapa 6.8

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.8.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x \cdot 1^{2} + 1^{3}) d y = 0$

Etapa 6.8.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x \cdot 1 + 1^{3}) d y = 0$

Etapa 6.8.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1^{3}) d y = 0$

Etapa 6.8.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1 d y$

Etapa 8

Integre $N (x, y) = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 8.1

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y + g (x)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y + g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Etapa 11.3

Avalie $\frac{d}{d x} [(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y]$ .

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Etapa 11.3.1

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1]$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Etapa 11.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$y (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Etapa 11.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$y (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Etapa 11.3.4

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y (3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Etapa 11.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$y (3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Etapa 11.3.6

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y (3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Etapa 11.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$y (3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Etapa 11.3.8

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$y (3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Etapa 11.3.9

Multiplique $2$ por $3$ .

$y (3 x^{2} + 6 x + 3 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Etapa 11.3.10

Multiplique $3$ por $1$ .

$y (3 x^{2} + 6 x + 3 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Etapa 11.3.11

Some $3 x^{2} + 6 x + 3$ e $0$ .

$y (3 x^{2} + 6 x + 3) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Etapa 11.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$y (3 x^{2} + 6 x + 3) + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Etapa 11.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y (3 x^{2}) + y (6 x) + y \cdot 3 + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Etapa 11.5.2

Combine os termos.

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Etapa 11.5.2.1

Mova $3$ para a esquerda de $y$ .

$3 \cdot y x^{2} + y (6 x) + y \cdot 3 + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Etapa 11.5.2.2

Mova $6$ para a esquerda de $y$ .

$3 y x^{2} + 6 \cdot y x + y \cdot 3 + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Etapa 11.5.2.3

Mova $3$ para a esquerda de $y$ .

$3 y x^{2} + 6 y x + 3 y + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Etapa 11.5.3

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 12.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 12.1.1

Subtraia $3 x^{2} y$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} + 6 x y + 3 y = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4 - 3 x^{2} y$

Etapa 12.1.2

Subtraia $6 x y$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} + 3 y = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4 - 3 x^{2} y - 6 x y$

Etapa 12.1.3

Subtraia $3 y$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4 - 3 x^{2} y - 6 x y - 3 y$

Etapa 12.1.4

Combine os termos opostos em $3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4 - 3 x^{2} y - 6 x y - 3 y$ .

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Etapa 12.1.4.1

Subtraia $3 x^{2} y$ de $3 x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d x} = 6 x y + 3 y - 4 x - 4 + 0 - 6 x y - 3 y$

Etapa 12.1.4.2

Some $6 x y + 3 y - 4 x - 4$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 6 x y + 3 y - 4 x - 4 - 6 x y - 3 y$

Etapa 12.1.4.3

Subtraia $6 x y$ de $6 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 y - 4 x - 4 + 0 - 3 y$

Etapa 12.1.4.4

Some $3 y - 4 x - 4$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 y - 4 x - 4 - 3 y$

Etapa 12.1.4.5

Subtraia $3 y$ de $3 y$ .

$\frac{d g}{d x} = - 4 x - 4 + 0$

Etapa 12.1.4.6

Some $- 4 x - 4$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - 4 x - 4$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $- 4 x - 4$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = - 4 x - 4$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - 4 x - 4 d x$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - 4 x - 4 d x$

Etapa 13.3

Divida a integral única em várias integrais.

$g (x) = \int - 4 x d x + \int - 4 d x$

Etapa 13.4

Como $- 4$ é constante com relação a $x$ , mova $- 4$ para fora da integral.

$g (x) = - 4 \int x d x + \int - 4 d x$

Etapa 13.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 4 d x$

Etapa 13.6

Aplique a regra da constante.

$g (x) = - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 4 x + C$

Etapa 13.7

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$g (x) = - 4 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 4 x + C$

Etapa 13.8

Simplifique.

$g (x) = - 2 x^{2} - 4 x + C$

Etapa 14

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y + g (x)$ .

$f (x, y) = (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y - 2 x^{2} - 4 x + C$

Etapa 15

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x, y) = x^{3} y + 3 x^{2} y + 3 x y + 1 y - 2 x^{2} - 4 x + C$

Etapa 15.2

Multiplique $y$ por $1$ .

$f (x, y) = x^{3} y + 3 x^{2} y + 3 x y + y - 2 x^{2} - 4 x + C$