Cálculo Exemplos

$\frac{d s}{d t} = 36 t {(9 t^{2} - 7)}^{3}$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d s = 36 t {(9 t^{2} - 7)}^{3} d t$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d s = \int 36 t {(9 t^{2} - 7)}^{3} d t$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$s + C_{1} = \int 36 t {(9 t^{2} - 7)}^{3} d t$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $36$ é constante com relação a $t$ , mova $36$ para fora da integral.

$s + C_{1} = 36 \int t {(9 t^{2} - 7)}^{3} d t$

Etapa 2.3.2

Deixe $u = 9 t^{2} - 7$ . Depois, $d u = 18 t d t$ , então, $\frac{1}{18} d u = t d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.2.1

Deixe $u = 9 t^{2} - 7$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Diferencie $9 t^{2} - 7$ .

$\frac{d}{d t} [9 t^{2} - 7]$

Etapa 2.3.2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $9 t^{2} - 7$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [9 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7]$ .

$\frac{d}{d t} [9 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7]$

Etapa 2.3.2.1.3

Avalie $\frac{d}{d t} [9 t^{2}]$ .

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Etapa 2.3.2.1.3.1

Como $9$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $9 t^{2}$ em relação a $t$ é $9 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$9 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7]$

Etapa 2.3.2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$9 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 7]$

Etapa 2.3.2.1.3.3

Multiplique $2$ por $9$ .

$18 t + \frac{d}{d t} [- 7]$

Etapa 2.3.2.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.3.2.1.4.1

Como $- 7$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 7$ em relação a $t$ é $0$ .

$18 t + 0$

Etapa 2.3.2.1.4.2

Some $18 t$ e $0$ .

$18 t$

Etapa 2.3.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$s + C_{1} = 36 \int u^{3} \frac{1}{18} d u$

Etapa 2.3.3

Combine $u^{3}$ e $\frac{1}{18}$ .

$s + C_{1} = 36 \int \frac{u^{3}}{18} d u$

Etapa 2.3.4

Como $\frac{1}{18}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{18}$ para fora da integral.

$s + C_{1} = 36 (\frac{1}{18} \int u^{3} d u)$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1

Combine $\frac{1}{18}$ e $36$ .

$s + C_{1} = \frac{36}{18} \int u^{3} d u$

Etapa 2.3.5.2

Cancele o fator comum de $36$ e $18$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.2.1

Fatore $18$ de $36$ .

$s + C_{1} = \frac{18 \cdot 2}{18} \int u^{3} d u$

Etapa 2.3.5.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.2.2.1

Fatore $18$ de $18$ .

$s + C_{1} = \frac{18 \cdot 2}{18 (1)} \int u^{3} d u$

Etapa 2.3.5.2.2.2

Cancele o fator comum.

$s + C_{1} = \frac{18 \cdot 2}{18 \cdot 1} \int u^{3} d u$

Etapa 2.3.5.2.2.3

Reescreva a expressão.

$s + C_{1} = \frac{2}{1} \int u^{3} d u$

Etapa 2.3.5.2.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$s + C_{1} = 2 \int u^{3} d u$

Etapa 2.3.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{3}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$s + C_{1} = 2 (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$

Etapa 2.3.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.1

Reescreva $2 (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$ como $2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C_{2}$ .

$s + C_{1} = 2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{4}$ .

$s + C_{1} = \frac{2}{4} u^{4} + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2.2

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$s + C_{1} = \frac{2 (1)}{4} u^{4} + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.2.2.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$s + C_{1} = \frac{1}{2} u^{4} + C_{2}$

Etapa 2.3.8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $9 t^{2} - 7$ .

$s + C_{1} = \frac{1}{2} {(9 t^{2} - 7)}^{4} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$s = \frac{1}{2} {(9 t^{2} - 7)}^{4} + K$