Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = e^{0.25 x}$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = e^{0.25 x} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int e^{0.25 x} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int e^{0.25 x} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Deixe $u = 0.25 x$ . Depois, $d u = 0.25 d x$ , então, $\frac{1}{0.25} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.1.1

Deixe $u = 0.25 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.3.1.1.1

Diferencie $0.25 x$ .

$\frac{d}{d x} [0.25 x]$

Etapa 2.3.1.1.2

Como $0.25$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $0.25 x$ em relação a $x$ é $0.25 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0.25 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0.25 \cdot 1$

Etapa 2.3.1.1.4

Multiplique $0.25$ por $1$ .

$0.25$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{0.25} d u$

Etapa 2.3.2

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{0.25}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{0.25} d u$

Etapa 2.3.3

Como $\frac{1}{0.25}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{0.25}$ para fora da integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{0.25} \int e^{u} d u$

Etapa 2.3.4

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{0.25} (e^{u} + C_{2})$

Etapa 2.3.5

Reescreva $\frac{1}{0.25} (e^{u} + C_{2})$ como $4 e^{u} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 4 e^{u} + C_{2}$

Etapa 2.3.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $0.25 x$ .

$y + C_{1} = 4 e^{0.25 x} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = 4 e^{0.25 x} + K$