Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = 2 x (1 + x^{2} - y)$

Etapa 1

Reescreva a equação como $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

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Etapa 1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d y}{d x} = 2 x \cdot 1 + 2 x \cdot x^{2} + 2 x (- y)$

Etapa 1.2

Subtraia $2 x (- y)$ dos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d x} - 2 x (- y) = 2 x \cdot 1 + 2 x \cdot x^{2}$

Etapa 1.3

Reordene os termos.

$\frac{d y}{d x} - 2 \cdot - 1 x y = 2 x \cdot 1 + 2 x \cdot x^{2}$

Etapa 1.4

Reordene os termos.

$\frac{d y}{d x} - 2 \cdot - 1 x y = 1 \cdot 2 x + 2 x^{2} x$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = - 2 \cdot - 1 x$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int - 2 \cdot - 1 x d x}$

Etapa 2.2

Integre $- 2 \cdot - 1 x$ .

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Etapa 2.2.1

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$e^{\int 2 x d x}$

Etapa 2.2.2

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$e^{2 \int x d x}$

Etapa 2.2.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Etapa 2.2.4

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.2.4.1

Reescreva $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Etapa 2.2.4.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.4.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Etapa 2.2.4.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.2.4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Etapa 2.2.4.2.2.2

Reescreva a expressão.

$e^{1 x^{2} + C}$

Etapa 2.2.4.2.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$e^{x^{2} + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{x^{2}}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{x^{2}}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{x^{2}} (- 2 \cdot - 1 x y) = e^{x^{2}} (1 \cdot 2 x) + e^{x^{2}} (2 x^{2} x)$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 \cdot - 1 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} (1 \cdot 2 x) + e^{x^{2}} (2 x^{2} x)$

Etapa 3.2.2

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} (1 \cdot 2 x) + e^{x^{2}} (2 x^{2} x)$

Etapa 3.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 e^{x^{2}} x + e^{x^{2}} (2 x^{2} x)$

Etapa 3.3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 e^{x^{2}} x + 2 e^{x^{2}} (x^{2} x)$

Etapa 3.3.3

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.3.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 3.3.3.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 e^{x^{2}} x + 2 e^{x^{2}} (x^{2} x^{1})$

Etapa 3.3.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 e^{x^{2}} x + 2 e^{x^{2}} x^{2 + 1}$

Etapa 3.3.3.2

Some $2$ e $1$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 e^{x^{2}} x + 2 e^{x^{2}} x^{3}$

Etapa 3.4

Reordene os fatores em $e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 e^{x^{2}} x + 2 e^{x^{2}} x^{3}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 x y e^{x^{2}} = 2 x e^{x^{2}} + 2 x^{3} e^{x^{2}}$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] = 2 x e^{x^{2}} + 2 x^{3} e^{x^{2}}$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] d x = \int 2 x e^{x^{2}} + 2 x^{3} e^{x^{2}} d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$e^{x^{2}} y = \int 2 x e^{x^{2}} + 2 x^{3} e^{x^{2}} d x$

Etapa 7

Integre o lado direito.

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Etapa 7.1

Divida a integral única em várias integrais.

$e^{x^{2}} y = \int 2 x e^{x^{2}} d x + \int 2 x^{3} e^{x^{2}} d x$

Etapa 7.2

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$e^{x^{2}} y = 2 \int x e^{x^{2}} d x + \int 2 x^{3} e^{x^{2}} d x$

Etapa 7.3

Deixe $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Depois, $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 7.3.1

Deixe $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 7.3.1.1

Diferencie $e^{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Etapa 7.3.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 7.3.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 7.3.1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 7.3.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 7.3.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$e^{x^{2}} (2 x)$

Etapa 7.3.1.4

Simplifique.

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Etapa 7.3.1.4.1

Reordene os fatores de $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2}} x$

Etapa 7.3.1.4.2

Reordene os fatores em $2 e^{x^{2}} x$ .

$2 x e^{x^{2}}$

Etapa 7.3.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$e^{x^{2}} y = 2 \int \frac{1}{2} d u_{2} + \int 2 x^{3} e^{x^{2}} d x$

Etapa 7.4

Aplique a regra da constante.

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{1}{2} u_{2} + C) + \int 2 x^{3} e^{x^{2}} d x$

Etapa 7.5

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{1}{2} u_{2} + C) + 2 \int x^{3} e^{x^{2}} d x$

Etapa 7.6

Deixe $u_{3} = x^{2}$ . Depois, $d u_{3} = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{3} = x d x$ . Reescreva usando $u_{3}$ e $d$ $u_{3}$ .

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Etapa 7.6.1

Deixe $u_{3} = x^{2}$ . Encontre $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

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Etapa 7.6.1.1

Diferencie $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 7.6.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x$

Etapa 7.6.2

Reescreva o problema usando $u_{3}$ e $d u_{3}$ .

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{1}{2} u_{2} + C) + 2 \int u_{3} e^{u_{3}} \frac{1}{2} d u_{3}$

Etapa 7.7

Simplifique.

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Etapa 7.7.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $u_{2}$ .

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{u_{2}}{2} + C) + 2 \int u_{3} e^{u_{3}} \frac{1}{2} d u_{3}$

Etapa 7.7.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $u_{3}$ .

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{u_{2}}{2} + C) + 2 \int \frac{u_{3}}{2} e^{u_{3}} d u_{3}$

Etapa 7.7.3

Combine $\frac{u_{3}}{2}$ e $e^{u_{3}}$ .

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{u_{2}}{2} + C) + 2 \int \frac{u_{3} e^{u_{3}}}{2} d u_{3}$

Etapa 7.8

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{3}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{u_{2}}{2} + C) + 2 (\frac{1}{2} \int u_{3} e^{u_{3}} d u_{3})$

Etapa 7.9

Simplifique.

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Etapa 7.9.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{u_{2}}{2} + C) + \frac{2}{2} \int u_{3} e^{u_{3}} d u_{3}$

Etapa 7.9.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.9.2.1

Cancele o fator comum.

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{u_{2}}{2} + C) + \frac{2}{2} \int u_{3} e^{u_{3}} d u_{3}$

Etapa 7.9.2.2

Reescreva a expressão.

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{u_{2}}{2} + C) + 1 \int u_{3} e^{u_{3}} d u_{3}$

Etapa 7.9.3

Multiplique $\int u_{3} e^{u_{3}} d u_{3}$ por $1$ .

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{u_{2}}{2} + C) + \int u_{3} e^{u_{3}} d u_{3}$

Etapa 7.10

Integre por partes usando a fórmula $\int w d v = w v - \int v d w$ , em que $w = u_{3}$ e $dv = e^{u_{3}}$ .

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{u_{2}}{2} + C) + u_{3} e^{u_{3}} - \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Etapa 7.11

A integral de $e^{u_{3}}$ com relação a $u_{3}$ é $e^{u_{3}}$ .

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{u_{2}}{2} + C) + u_{3} e^{u_{3}} - (e^{u_{3}} + C)$

Etapa 7.12

Simplifique.

$e^{x^{2}} y = u_{2} + u_{3} e^{u_{3}} - e^{u_{3}} + C$

Etapa 7.13

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 7.13.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} y = e^{x^{2}} + u_{3} e^{u_{3}} - e^{u_{3}} + C$

Etapa 7.13.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} y = e^{x^{2}} + x^{2} e^{x^{2}} - e^{x^{2}} + C$

Etapa 7.14

Simplifique.

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Etapa 7.14.1

Subtraia $e^{x^{2}}$ de $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} y = x^{2} e^{x^{2}} + 0 + C$

Etapa 7.14.2

Some $x^{2} e^{x^{2}}$ e $0$ .

$e^{x^{2}} y = x^{2} e^{x^{2}} + C$

Etapa 8

Divida cada termo em $e^{x^{2}} y = x^{2} e^{x^{2}} + C$ por $e^{x^{2}}$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $e^{x^{2}} y = x^{2} e^{x^{2}} + C$ por $e^{x^{2}}$ .

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $e^{x^{2}}$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.1

Cancele o fator comum de $e^{x^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Etapa 8.3.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$y = x^{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$