Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - 1}{3 y^{2}}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x - 1}{3 y^{2}}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Fatore $y^{2}$ de $3 y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x - 1}{y^{2} \cdot 3}$

Etapa 1.2.2

Cancele o fator comum.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x - 1}{y^{2} \cdot 3}$

Etapa 1.2.3

Reescreva a expressão.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{x - 1}{3}$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$y^{2} d y = \frac{x - 1}{3} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y^{2} d y = \int \frac{x - 1}{3} d x$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{x - 1}{3} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} \int x - 1 d x$

Etapa 2.3.2

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (\int x d x + \int - 1 d x)$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int - 1 d x)$

Etapa 2.3.4

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} - x + C_{3})$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - x) + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - x) + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - x) + K)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Simplifique $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - x) + K)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - x) + K)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - x) + K)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique $3 (\frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - x) + K)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{1}{3} (\frac{x^{2}}{2} - x) + K)$

Etapa 3.2.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{3} (- x) + K)$

Etapa 3.2.2.1.1.3

Combine.

$y^{3} = 3 (\frac{1 x^{2}}{3 \cdot 2} + \frac{1}{3} (- x) + K)$

Etapa 3.2.2.1.1.4

Combine $\frac{1}{3}$ e $x$ .

$y^{3} = 3 (\frac{1 x^{2}}{3 \cdot 2} - \frac{x}{3} + K)$

Etapa 3.2.2.1.1.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1.5.1

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$y^{3} = 3 (\frac{x^{2}}{3 \cdot 2} - \frac{x}{3} + K)$

Etapa 3.2.2.1.1.5.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$y^{3} = 3 (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} + K)$

Etapa 3.2.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{3} = 3 \frac{x^{2}}{6} + 3 (- \frac{x}{3}) + 3 K$

Etapa 3.2.2.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.3.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.3.1.1

Fatore $3$ de $6$ .

$y^{3} = 3 \frac{x^{2}}{3 (2)} + 3 (- \frac{x}{3}) + 3 K$

Etapa 3.2.2.1.3.1.2

Cancele o fator comum.

$y^{3} = 3 \frac{x^{2}}{3 \cdot 2} + 3 (- \frac{x}{3}) + 3 K$

Etapa 3.2.2.1.3.1.3

Reescreva a expressão.

$y^{3} = \frac{x^{2}}{2} + 3 (- \frac{x}{3}) + 3 K$

Etapa 3.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.2.2.1.3.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{x}{3}$ para o numerador.

$y^{3} = \frac{x^{2}}{2} + 3 \frac{- x}{3} + 3 K$

Etapa 3.2.2.1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$y^{3} = \frac{x^{2}}{2} + 3 \frac{- x}{3} + 3 K$

Etapa 3.2.2.1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$y^{3} = \frac{x^{2}}{2} - x + 3 K$

Etapa 3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2}}{2} - x + 3 K}$

Etapa 3.4

Simplifique $\sqrt[3]{\frac{x^{2}}{2} - x + 3 K}$ .

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Etapa 3.4.1

Para escrever $- x$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2}}{2} - x \cdot \frac{2}{2} + 3 K}$

Etapa 3.4.2

Simplifique os termos.

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Etapa 3.4.2.1

Combine $- x$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2}}{2} + \frac{- x \cdot 2}{2} + 3 K}$

Etapa 3.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2} - x \cdot 2}{2} + 3 K}$

Etapa 3.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.3.1

Fatore $x$ de $x^{2} - x \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x \cdot x - x \cdot 2}{2} + 3 K}$

Etapa 3.4.3.1.2

Fatore $x$ de $- x \cdot 2$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x \cdot x + x (- 1 \cdot 2)}{2} + 3 K}$

Etapa 3.4.3.1.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x (- 1 \cdot 2)$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x (x - 1 \cdot 2)}{2} + 3 K}$

Etapa 3.4.3.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x (x - 2)}{2} + 3 K}$

Etapa 3.4.4

Para escrever $3 K$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x (x - 2)}{2} + 3 K \cdot \frac{2}{2}}$

Etapa 3.4.5

Simplifique os termos.

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Etapa 3.4.5.1

Combine $3 K$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x (x - 2)}{2} + \frac{3 K \cdot 2}{2}}$

Etapa 3.4.5.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \sqrt[3]{\frac{x (x - 2) + 3 K \cdot 2}{2}}$

Etapa 3.4.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \sqrt[3]{\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 3 K \cdot 2}{2}}$

Etapa 3.4.6.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2} + x \cdot - 2 + 3 K \cdot 2}{2}}$

Etapa 3.4.6.3

Mova $- 2$ para a esquerda de $x$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2} - 2 \cdot x + 3 K \cdot 2}{2}}$

Etapa 3.4.6.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2} - 2 x + 6 K}{2}}$

Etapa 3.4.7

Reescreva $\sqrt[3]{\frac{x^{2} - 2 x + 6 K}{2}}$ como $\frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K}}{\sqrt[3]{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K}}{\sqrt[3]{2}}$

Etapa 3.4.8

Multiplique $\frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K}}{\sqrt[3]{2}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Etapa 3.4.9

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 3.4.9.1

Multiplique $\frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K}}{\sqrt[3]{2}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Etapa 3.4.9.2

Eleve $\sqrt[3]{2}$ à potência de $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Etapa 3.4.9.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

Etapa 3.4.9.4

Some $1$ e $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

Etapa 3.4.9.5

Reescreva ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.9.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{2}$ como $2^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Etapa 3.4.9.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Etapa 3.4.9.5.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 3.4.9.5.4

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.9.5.4.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 3.4.9.5.4.2

Reescreva a expressão.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

Etapa 3.4.9.5.5

Avalie o expoente.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

Etapa 3.4.10

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.10.1

Reescreva ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ como $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

Etapa 3.4.10.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} \sqrt[3]{4}}{2}$

Etapa 3.4.11

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.11.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$y = \frac{\sqrt[3]{(x^{2} - 2 x + 6 K) \cdot 4}}{2}$

Etapa 3.4.11.2

Reordene os fatores em $\frac{\sqrt[3]{(x^{2} - 2 x + 6 K) \cdot 4}}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{4 (x^{2} - 2 x + 6 K)}}{2}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{\sqrt[3]{4 (x^{2} - 2 x + K)}}{2}$