Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = (x - 3) e^{- 2 y}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{e^{- 2 y}}$ .

$\frac{1}{e^{- 2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- 2 y}} ((x - 3) e^{- 2 y})$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $e^{- 2 y}$ .

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Etapa 1.2.1

Fatore $e^{- 2 y}$ de $(x - 3) e^{- 2 y}$ .

$\frac{1}{e^{- 2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- 2 y}} (e^{- 2 y} (x - 3))$

Etapa 1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{e^{- 2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- 2 y}} (e^{- 2 y} (x - 3))$

Etapa 1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{e^{- 2 y}} \frac{d y}{d x} = x - 3$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{e^{- 2 y}} d y = (x - 3) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{e^{- 2 y}} d y = \int x - 3 d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.2.1.1

Negative o expoente de $e^{- 2 y}$ e o mova para fora do denominador.

$\int 1 {(e^{- 2 y})}^{- 1} d y = \int x - 3 d x$

Etapa 2.2.1.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.1.2.1

Multiplique os expoentes em ${(e^{- 2 y})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.2.1.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- 2 y \cdot - 1} d y = \int x - 3 d x$

Etapa 2.2.1.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$\int 1 e^{2 y} d y = \int x - 3 d x$

Etapa 2.2.1.2.2

Multiplique $e^{2 y}$ por $1$ .

$\int e^{2 y} d y = \int x - 3 d x$

Etapa 2.2.2

Deixe $u = 2 y$ . Depois, $d u = 2 d y$ , então, $\frac{1}{2} d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.2.2.1

Deixe $u = 2 y$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 2.2.2.1.1

Diferencie $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Etapa 2.2.2.1.2

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 y$ em relação a $y$ é $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.2.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 2.2.2.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 2.2.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{2} d u = \int x - 3 d x$

Etapa 2.2.3

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u}}{2} d u = \int x - 3 d x$

Etapa 2.2.4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int e^{u} d u = \int x - 3 d x$

Etapa 2.2.5

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C_{1}) = \int x - 3 d x$

Etapa 2.2.6

Simplifique.

$\frac{1}{2} e^{u} + C_{1} = \int x - 3 d x$

Etapa 2.2.7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 y$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \int x - 3 d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \int x d x + \int - 3 d x$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int - 3 d x$

Etapa 2.3.3

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} - 3 x + C_{3}$

Etapa 2.3.4

Simplifique.

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} e^{2 y}) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} - 3 x + K)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} e^{2 y})$ .

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Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{2 y}$ .

$2 \frac{e^{2 y}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} - 3 x + K)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{e^{2 y}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} - 3 x + K)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$e^{2 y} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} - 3 x + K)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} x^{2} - 3 x + K)$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$e^{2 y} = 2 (\frac{x^{2}}{2} - 3 x + K)$

Etapa 3.2.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{2 y} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 (- 3 x) + 2 K$

Etapa 3.2.2.1.3

Simplifique.

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Etapa 3.2.2.1.3.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.2.1.3.1.1

Cancele o fator comum.

$e^{2 y} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 (- 3 x) + 2 K$

Etapa 3.2.2.1.3.1.2

Reescreva a expressão.

$e^{2 y} = x^{2} + 2 (- 3 x) + 2 K$

Etapa 3.2.2.1.3.2

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$e^{2 y} = x^{2} - 6 x + 2 K$

Etapa 3.3

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{2 y}) = \ln (x^{2} - 6 x + 2 K)$

Etapa 3.4

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.1

Expanda $\ln (e^{2 y})$ movendo $2 y$ para fora do logaritmo.

$2 y \ln (e) = \ln (x^{2} - 6 x + 2 K)$

Etapa 3.4.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$2 y \cdot 1 = \ln (x^{2} - 6 x + 2 K)$

Etapa 3.4.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 y = \ln (x^{2} - 6 x + 2 K)$

Etapa 3.5

Divida cada termo em $2 y = \ln (x^{2} - 6 x + 2 K)$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 3.5.1

Divida cada termo em $2 y = \ln (x^{2} - 6 x + 2 K)$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x^{2} - 6 x + 2 K)}{2}$

Etapa 3.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.5.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x^{2} - 6 x + 2 K)}{2}$

Etapa 3.5.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (x^{2} - 6 x + 2 K)}{2}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{\ln (x^{2} - 6 x + K)}{2}$