Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d t} + \frac{y}{t} = 3 t$ , $y (2) = 8$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d y}{d t} + M (t) y = Q (t)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore $y$ de $\frac{y}{t}$ .

$\frac{d y}{d t} + y \frac{1}{t} = 3 t$

Etapa 1.2

Reordene $y$ e $\frac{1}{t}$ .

$\frac{d y}{d t} + \frac{1}{t} y = 3 t$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (t) d t}$ , em que $P (t) = \frac{1}{t}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int \frac{1}{t} d t}$

Etapa 2.2

A integral de $\frac{1}{t}$ com relação a $t$ é $\ln (| t |)$ .

$e^{\ln (| t |) + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{\ln (t)}$

Etapa 2.4

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$t$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $t$ .

$t \frac{d y}{d t} + t (\frac{1}{t} y) = t (3 t)$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Combine $\frac{1}{t}$ e $y$ .

$t \frac{d y}{d t} + t \frac{y}{t} = t (3 t)$

Etapa 3.2.2

Cancele o fator comum de $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$t \frac{d y}{d t} + t \frac{y}{t} = t (3 t)$

Etapa 3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$t \frac{d y}{d t} + y = t (3 t)$

Etapa 3.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$t \frac{d y}{d t} + y = 3 t \cdot t$

Etapa 3.4

Multiplique $t$ por $t$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Mova $t$ .

$t \frac{d y}{d t} + y = 3 (t \cdot t)$

Etapa 3.4.2

Multiplique $t$ por $t$ .

$t \frac{d y}{d t} + y = 3 t^{2}$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d t} [t y] = 3 t^{2}$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d t} [t y] d t = \int 3 t^{2} d t$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$t y = \int 3 t^{2} d t$

Etapa 7

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Como $3$ é constante com relação a $t$ , mova $3$ para fora da integral.

$t y = 3 \int t^{2} d t$

Etapa 7.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $t^{2}$ com relação a $t$ é $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$t y = 3 (\frac{1}{3} t^{3} + C)$

Etapa 7.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Reescreva $3 (\frac{1}{3} t^{3} + C)$ como $3 (\frac{1}{3}) t^{3} + C$ .

$t y = 3 (\frac{1}{3}) t^{3} + C$

Etapa 7.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1

Combine $3$ e $\frac{1}{3}$ .

$t y = \frac{3}{3} t^{3} + C$

Etapa 7.3.2.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$t y = \frac{3}{3} t^{3} + C$

Etapa 7.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$t y = 1 t^{3} + C$

Etapa 7.3.2.3

Multiplique $t^{3}$ por $1$ .

$t y = t^{3} + C$

Etapa 8

Divida cada termo em $t y = t^{3} + C$ por $t$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Divida cada termo em $t y = t^{3} + C$ por $t$ .

$\frac{t y}{t} = \frac{t^{3}}{t} + \frac{C}{t}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{t y}{t} = \frac{t^{3}}{t} + \frac{C}{t}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{t^{3}}{t} + \frac{C}{t}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Cancele o fator comum de $t^{3}$ e $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.1

Fatore $t$ de $t^{3}$ .

$y = \frac{t \cdot t^{2}}{t} + \frac{C}{t}$

Etapa 8.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.2.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$y = \frac{t \cdot t^{2}}{t^{1}} + \frac{C}{t}$

Etapa 8.3.1.2.2

Fatore $t$ de $t^{1}$ .

$y = \frac{t \cdot t^{2}}{t \cdot 1} + \frac{C}{t}$

Etapa 8.3.1.2.3

Cancele o fator comum.

$y = \frac{t \cdot t^{2}}{t \cdot 1} + \frac{C}{t}$

Etapa 8.3.1.2.4

Reescreva a expressão.

$y = \frac{t^{2}}{1} + \frac{C}{t}$

Etapa 8.3.1.2.5

Divida $t^{2}$ por $1$ .

$y = t^{2} + \frac{C}{t}$

Etapa 9

Use a condição inicial para encontrar o valor de $C$ , substituindo $2$ por $t$ e $8$ por $y$ em $y = t^{2} + \frac{C}{t}$ .

$8 = 2^{2} + \frac{C}{2}$

Etapa 10

Resolva $C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Reescreva a equação como $2^{2} + \frac{C}{2} = 8$ .

$2^{2} + \frac{C}{2} = 8$

Etapa 10.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$4 + \frac{C}{2} = 8$

Etapa 10.3

Mova todos os termos que não contêm $C$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$\frac{C}{2} = 8 - 4$

Etapa 10.3.2

Subtraia $4$ de $8$ .

$\frac{C}{2} = 4$

Etapa 10.4

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 \frac{C}{2} = 2 \cdot 4$

Etapa 10.5

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.1.1.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{C}{2} = 2 \cdot 4$

Etapa 10.5.1.1.2

Reescreva a expressão.

$C = 2 \cdot 4$

Etapa 10.5.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.2.1

Multiplique $2$ por $4$ .

$C = 8$

Etapa 11

Substitua $8$ por $C$ em $y = t^{2} + \frac{C}{t}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua $8$ por $C$ .

$y = t^{2} + \frac{8}{t}$