Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = 4 x^{3} y - y$ , $y (1) = - 3$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore $y$ de $4 x^{3} y - y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Fatore $y$ de $4 x^{3} y$ .

$\frac{d y}{d x} = y (4 x^{3}) - y$

Etapa 1.1.2

Fatore $y$ de $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = y (4 x^{3}) + y \cdot - 1$

Etapa 1.1.3

Fatore $y$ de $y (4 x^{3}) + y \cdot - 1$ .

$\frac{d y}{d x} = y (4 x^{3} - 1)$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (4 x^{3} - 1))$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (4 x^{3} - 1))$

Etapa 1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 4 x^{3} - 1$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y} d y = (4 x^{3} - 1) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Etapa 2.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 4 x^{3} d x + \int - 1 d x$

Etapa 2.3.2

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int x^{3} d x + \int - 1 d x$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + \int - 1 d x$

Etapa 2.3.4

Aplique a regra da constante.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - x + C_{3}$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

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Etapa 2.3.5.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) - x + C_{3}$

Etapa 2.3.5.2

Simplifique.

$\ln (| y |) + C_{1} = x^{4} - x + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y |) = x^{4} - x + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| y |)} = e^{x^{4} - x + C}$

Etapa 3.2

Reescreva $\ln (| y |) = x^{4} - x + C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{x^{4} - x + C} = | y |$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $| y | = e^{x^{4} - x + C}$ .

$| y | = e^{x^{4} - x + C}$

Etapa 3.3.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{x^{4} - x + C}$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 4.1

Reescreva $e^{x^{4} - x + C}$ como $e^{x^{4} - x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{x^{4} - x} e^{C}$

Etapa 4.2

Reordene $e^{x^{4} - x}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{x^{4} - x}$

Etapa 4.3

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = C e^{x^{4} - x}$

Etapa 5

Use a condição inicial para encontrar o valor de $C$ , substituindo $1$ por $x$ e $- 3$ por $y$ em $y = C e^{x^{4} - x}$ .

$- 3 = C e^{1^{4} - 1 \cdot 1}$

Etapa 6

Resolva $C$ .

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Etapa 6.1

Reescreva a equação como $C e^{1^{4} - 1 \cdot 1} = - 3$ .

$C e^{1^{4} - 1 \cdot 1} = - 3$

Etapa 6.2

Simplifique $C e^{1^{4} - 1 \cdot 1}$ .

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$C e^{1 - 1 \cdot 1} = - 3$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$C e^{1 - 1} = - 3$

Etapa 6.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.2.2.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$C e^{0} = - 3$

Etapa 6.2.2.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$C \cdot 1 = - 3$

Etapa 6.2.2.3

Multiplique $C$ por $1$ .

$C = - 3$

Etapa 7

Substitua $- 3$ por $C$ em $y = C e^{x^{4} - x}$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Substitua $- 3$ por $C$ .

$y = - 3 e^{x^{4} - x}$