Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} + y^{2}}{x y}$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como uma função de $\frac{y}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Divida $\frac{3 x^{2} + y^{2}}{x y}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Divida a fração $\frac{3 x^{2} + y^{2}}{x y}$ em duas frações.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Etapa 1.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.1

Fatore $x$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 x)}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Etapa 1.1.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.2.1

Fatore $x$ de $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 x)}{x (y)} + \frac{y^{2}}{x y}$

Etapa 1.1.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 x)}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Etapa 1.1.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Etapa 1.1.2.2

Cancele o fator comum de $y^{2}$ e $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1

Fatore $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{y} + \frac{y \cdot y}{x y}$

Etapa 1.1.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.2.1

Fatore $y$ de $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{y} + \frac{y \cdot y}{y x}$

Etapa 1.1.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{y} + \frac{y \cdot y}{y x}$

Etapa 1.1.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{y} + \frac{y}{x}$

Etapa 1.2

Reescreva a equação diferencial como $f (\frac{y}{x})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Fatore $\frac{x}{y}$ a partir de $\frac{3 x}{y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Fatore $\frac{x}{y}$ de $\frac{3 x}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} \cdot 3 + \frac{y}{x}$

Etapa 1.2.1.2

Reordene $\frac{x}{y}$ e $3$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 \cdot \frac{x}{y} + \frac{y}{x}$

Etapa 1.2.2

Reescreva $\frac{x}{y}$ como ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 \cdot {(\frac{y}{x})}^{- 1} + \frac{y}{x}$

Etapa 2

Deixe $V = \frac{y}{x}$ . Substitua $V$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 \cdot V^{- 1} + V$

Etapa 3

Resolva $V = \frac{y}{x}$ para $y$ .

$y = V x$

Etapa 4

Use a regra do produto para encontrar a derivada de $y = V x$ com relação a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Etapa 5

Substitua $x \frac{d V}{d x} + V$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = 3 \cdot V^{- 1} + V$

Etapa 6

Resolva a equação diferencial substituída.

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Etapa 6.1

Separe as variáveis.

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Etapa 6.1.1

Resolva $\frac{d V}{d x}$ .

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Etapa 6.1.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1.1.1.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = 3 \cdot \frac{1}{V} + V$

Etapa 6.1.1.1.2

Combine $3$ e $\frac{1}{V}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{3}{V} + V$

Etapa 6.1.1.2

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d V}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 6.1.1.2.1

Subtraia $V$ dos dois lados da equação.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{3}{V} + V - V$

Etapa 6.1.1.2.2

Combine os termos opostos em $\frac{3}{V} + V - V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.2.2.1

Subtraia $V$ de $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{3}{V} + 0$

Etapa 6.1.1.2.2.2

Some $\frac{3}{V}$ e $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{3}{V}$

Etapa 6.1.1.3

Divida cada termo em $x \frac{d V}{d x} = \frac{3}{V}$ por $x$ e simplifique.

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Etapa 6.1.1.3.1

Divida cada termo em $x \frac{d V}{d x} = \frac{3}{V}$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{3}{V}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{3}{V}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.2.1.2

Divida $\frac{d V}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{d V}{d x} = \frac{3}{V} \cdot \frac{1}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.2

Multiplique $\frac{3}{V}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{3}{V x}$

Etapa 6.1.2

Reagrupe os fatores.

$\frac{d V}{d x} = \frac{3}{V} \cdot \frac{1}{x}$

Etapa 6.1.3

Multiplique os dois lados por $\frac{V}{3}$ .

$\frac{V}{3} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{3} (\frac{3}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Etapa 6.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.4.1

Multiplique $\frac{3}{V}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{V}{3} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{3} \cdot \frac{3}{V x}$

Etapa 6.1.4.2

Cancele o fator comum de $V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.4.2.1

Fatore $V$ de $V x$ .

$\frac{V}{3} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{3} \cdot \frac{3}{V (x)}$

Etapa 6.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{V}{3} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{3} \cdot \frac{3}{V x}$

Etapa 6.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{V}{3} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x}$

Etapa 6.1.4.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 6.1.4.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{V}{3} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x}$

Etapa 6.1.4.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{V}{3} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Etapa 6.1.5

Reescreva a equação.

$\frac{V}{3} d V = \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2

Integre os dois lados.

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Etapa 6.2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{V}{3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.2.1

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $V$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} \int V d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $V$ com relação a $V$ é $\frac{1}{2} V^{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{2} V^{2} + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.2.2.3.1

Reescreva $\frac{1}{3} (\frac{1}{2} V^{2} + C_{1})$ como $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} V^{2} + C_{1}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} V^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.3.2.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 2} V^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.3.2.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{1}{6} V^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{6} V^{2} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Etapa 6.2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\frac{1}{6} V^{2} = \ln (| x |) + C$

Etapa 6.3

Resolva $V$ .

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Etapa 6.3.1

Multiplique os dois lados da equação por $6$ .

$6 (\frac{1}{6} V^{2}) = 6 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 6.3.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 6.3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1

Simplifique $6 (\frac{1}{6} V^{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{6}$ e $V^{2}$ .

$6 \frac{V^{2}}{6} = 6 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 6.3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$6 \frac{V^{2}}{6} = 6 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 6.3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$V^{2} = 6 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 6.3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$V^{2} = 6 \ln (| x |) + 6 C$

Etapa 6.3.3

Simplifique $6 \ln (| x |)$ movendo $6$ para dentro do logaritmo.

$V^{2} = \ln ({| x |}^{6}) + 6 C$

Etapa 6.3.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$V = \pm \sqrt{\ln ({| x |}^{6}) + 6 C}$

Etapa 6.3.5

Remova o valor absoluto em ${| x |}^{6}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$V = \pm \sqrt{\ln (x^{6}) + 6 C}$

Etapa 6.3.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 6.3.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$V = \sqrt{\ln (x^{6}) + 6 C}$

Etapa 6.3.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$V = - \sqrt{\ln (x^{6}) + 6 C}$

Etapa 6.3.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$V = \sqrt{\ln (x^{6}) + 6 C}$

$V = - \sqrt{\ln (x^{6}) + 6 C}$

$V = \sqrt{\ln (x^{6}) + 6 C}$

$V = - \sqrt{\ln (x^{6}) + 6 C}$

$V = \sqrt{\ln (x^{6}) + 6 C}$

$V = - \sqrt{\ln (x^{6}) + 6 C}$

Etapa 6.4

Simplifique a constante de integração.

$V = \sqrt{\ln (x^{6}) + C}$

$V = - \sqrt{\ln (x^{6}) + C}$

$V = \sqrt{\ln (x^{6}) + C}$

$V = - \sqrt{\ln (x^{6}) + C}$

Etapa 7

Substitua $\frac{y}{x}$ por $V$ .

$\frac{y}{x} = \sqrt{\ln (x^{6}) + C}, - \sqrt{\ln (x^{6}) + C}$

Etapa 8

Resolva $\frac{y}{x} = \sqrt{\ln (x^{6}) + C}$ para $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Reescreva.

$\frac{y}{x} = \sqrt{\ln (x^{6}) + C}$

Etapa 8.2

Multiplique os dois lados por $x$ .

$\frac{y}{x} x = \sqrt{\ln (x^{6}) + C} x$

Etapa 8.3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.3.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{x} x = \sqrt{\ln (x^{6}) + C} x$

Etapa 8.3.1.2

Reescreva a expressão.

$y = \sqrt{\ln (x^{6}) + C} x$

Etapa 9

Resolva $\frac{y}{x} = - \sqrt{\ln (x^{6}) + C}$ para $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Reescreva.

$\frac{y}{x} = - \sqrt{\ln (x^{6}) + C}$

Etapa 9.2

Multiplique os dois lados por $x$ .

$\frac{y}{x} x = - \sqrt{\ln (x^{6}) + C} x$

Etapa 9.3

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{x} x = - \sqrt{\ln (x^{6}) + C} x$

Etapa 9.3.1.2

Reescreva a expressão.

$y = - \sqrt{\ln (x^{6}) + C} x$

Etapa 10

Liste as soluções.

$y = \sqrt{\ln (x^{6}) + C} x, y = - \sqrt{\ln (x^{6}) + C} x$