Cálculo Exemplos

$x \frac{d y}{d x} = y + x y$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Divida cada termo em $x \frac{d y}{d x} = y + x y$ por $x$ e simplifique.

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Etapa 1.1.1

Divida cada termo em $x \frac{d y}{d x} = y + x y$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{x y}{x}$

Etapa 1.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{x y}{x}$

Etapa 1.1.2.1.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x y}{x}$

Etapa 1.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.1.3.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.1.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x y}{x}$

Etapa 1.1.3.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + y$

Etapa 1.2

Fatore.

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Etapa 1.2.1

Fatore $y$ de $\frac{y}{x} + y$ .

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Etapa 1.2.1.1

Fatore $y$ de $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = y \frac{1}{x} + y$

Etapa 1.2.1.2

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y \frac{1}{x} + y^{1}$

Etapa 1.2.1.3

Fatore $y$ de $y^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = y \frac{1}{x} + y \cdot 1$

Etapa 1.2.1.4

Fatore $y$ de $y \frac{1}{x} + y \cdot 1$ .

$\frac{d y}{d x} = y (\frac{1}{x} + 1)$

Etapa 1.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{d y}{d x} = y (\frac{1}{x} + \frac{x}{x})$

Etapa 1.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d y}{d x} = y \frac{1 + x}{x}$

Etapa 1.3

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{1 + x}{x})$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{1 + x}{x})$

Etapa 1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + x}{x}$

Etapa 1.5

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1 + x}{x} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1 + x}{x} d x$

Etapa 2.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1 + x}{x} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a fração em diversas frações.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} + \frac{x}{x} d x$

Etapa 2.3.2

Divida a integral única em várias integrais.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x}{x} d x$

Etapa 2.3.3

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 2.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x}{x} d x$

Etapa 2.3.3.2

Reescreva a expressão.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int d x$

Etapa 2.3.4

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} + \int d x$

Etapa 2.3.5

Aplique a regra da constante.

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} + x + C_{3}$

Etapa 2.3.6

Simplifique.

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| x |) + x + C_{4}$

Etapa 2.3.7

Reordene os termos.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + \ln (| x |) + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y |) = x + \ln (| x |) + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| y |) - \ln (| x |) = x + C$

Etapa 3.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| x |}) = x + C$

Etapa 3.3

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| x |})} = e^{x + C}$

Etapa 3.4

Reescreva $\ln (\frac{| y |}{| x |}) = x + C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{x + C} = \frac{| y |}{| x |}$

Etapa 3.5

Resolva $y$ .

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Etapa 3.5.1

Reescreva a equação como $\frac{| y |}{| x |} = e^{x + C}$ .

$\frac{| y |}{| x |} = e^{x + C}$

Etapa 3.5.2

Multiplique os dois lados por $| x |$ .

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{x + C} | x |$

Etapa 3.5.3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.5.3.1

Cancele o fator comum de $| x |$ .

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Etapa 3.5.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{x + C} | x |$

Etapa 3.5.3.1.2

Reescreva a expressão.

$| y | = e^{x + C} | x |$

Etapa 3.5.4

Resolva $y$ .

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Etapa 3.5.4.1

Reordene os fatores em $e^{x + C} | x |$ .

$| y | = | x | e^{x + C}$

Etapa 3.5.4.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | x | e^{x + C}$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 4.1

Reescreva $e^{x + C}$ como $e^{x} e^{C}$ .

$y = \pm | x | (e^{x} e^{C})$

Etapa 4.2

Reordene $e^{x}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm | x | (e^{C} e^{x})$

Etapa 4.3

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = C | x | e^{x}$