Cálculo Exemplos

$(9 x^{2} + y - 1) d x - (4 y - x) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = 9 x^{2} + y - 1$ .

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Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [9 x^{2} + y - 1]$

Etapa 1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $9 x^{2} + y - 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [9 x^{2}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [9 x^{2}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 1.3

Como $9 x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $9 x^{2}$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 1.5

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 1$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 1 + 0$

Etapa 1.6

Combine os termos.

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Etapa 1.6.1

Some $0$ e $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 0$

Etapa 1.6.2

Some $1$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = - (4 y - x)$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (4 y - x)]$

Etapa 2.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- (4 y - x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [4 y - x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [4 y - x]$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 y - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 2.4

Como $4 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 y$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 2.5

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.6

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - - \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.7

Multiplique.

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Etapa 2.7.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.7.2

Multiplique $\frac{d}{d x} [x]$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = 1$

Etapa 3.2

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$1 = 1$ é uma identidade.

Etapa 4

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - (4 y - x) d y$

Etapa 5

Integre $N (x, y) = - (4 y - x)$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 5.1

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$f (x, y) = - \int 4 y - x d y$

Etapa 5.2

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = - (\int 4 y d y + \int - x d y)$

Etapa 5.3

Como $4$ é constante com relação a $y$ , mova $4$ para fora da integral.

$f (x, y) = - (4 \int y d y + \int - x d y)$

Etapa 5.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - (4 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int - x d y)$

Etapa 5.5

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = - (4 (\frac{1}{2} y^{2} + C) - x y + C)$

Etapa 5.6

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = - (4 (\frac{y^{2}}{2} + C) - x y + C)$

Etapa 5.7

Simplifique.

$f (x, y) = - (2 y^{2} - x y) + C$

Etapa 6

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = - (2 y^{2} - x y) + g (x)$

Etapa 7

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 9 x^{2} + y - 1$

Etapa 8

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 8.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [- (2 y^{2} - x y) + g (x)] = 9 x^{2} + y - 1$

Etapa 8.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- (2 y^{2} - x y) + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- (2 y^{2} - x y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- (2 y^{2} - x y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 9 x^{2} + y - 1$

Etapa 8.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- (2 y^{2} - x y)]$ .

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Etapa 8.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- (2 y^{2} - x y)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [2 y^{2} - x y]$ .

$- \frac{d}{d x} [2 y^{2} - x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 9 x^{2} + y - 1$

Etapa 8.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 y^{2} - x y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$ .

$- (\frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 9 x^{2} + y - 1$

Etapa 8.3.3

Como $2 y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$- (0 + \frac{d}{d x} [- x y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 9 x^{2} + y - 1$

Etapa 8.3.4

Como $- y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x y$ em relação a $x$ é $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (0 - y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 9 x^{2} + y - 1$

Etapa 8.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- (0 - y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 9 x^{2} + y - 1$

Etapa 8.3.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- (0 - y) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 9 x^{2} + y - 1$

Etapa 8.3.7

Subtraia $y$ de $0$ .

$- - y + \frac{d}{d x} [g (x)] = 9 x^{2} + y - 1$

Etapa 8.3.8

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 y + \frac{d}{d x} [g (x)] = 9 x^{2} + y - 1$

Etapa 8.3.9

Multiplique $y$ por $1$ .

$y + \frac{d}{d x} [g (x)] = 9 x^{2} + y - 1$

Etapa 8.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$y + \frac{d g}{d x} = 9 x^{2} + y - 1$

Etapa 8.5

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} + y = 9 x^{2} + y - 1$

Etapa 9

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 9.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.1.1

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = 9 x^{2} + y - 1 - y$

Etapa 9.1.2

Combine os termos opostos em $9 x^{2} + y - 1 - y$ .

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Etapa 9.1.2.1

Subtraia $y$ de $y$ .

$\frac{d g}{d x} = 9 x^{2} + 0 - 1$

Etapa 9.1.2.2

Some $9 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 9 x^{2} - 1$

Etapa 10

Encontre a antiderivada de $9 x^{2} - 1$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 10.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = 9 x^{2} - 1$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 9 x^{2} - 1 d x$

Etapa 10.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 9 x^{2} - 1 d x$

Etapa 10.3

Divida a integral única em várias integrais.

$g (x) = \int 9 x^{2} d x + \int - 1 d x$

Etapa 10.4

Como $9$ é constante com relação a $x$ , mova $9$ para fora da integral.

$g (x) = 9 \int x^{2} d x + \int - 1 d x$

Etapa 10.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 1 d x$

Etapa 10.6

Aplique a regra da constante.

$g (x) = 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - x + C$

Etapa 10.7

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$g (x) = 9 (\frac{x^{3}}{3} + C) - x + C$

Etapa 10.8

Simplifique.

$g (x) = 3 x^{3} - x + C$

Etapa 11

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = - (2 y^{2} - x y) + g (x)$ .

$f (x, y) = - (2 y^{2} - x y) + 3 x^{3} - x + C$

Etapa 12

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x, y) = - (2 y^{2}) - (- x y) + 3 x^{3} - x + C$

Etapa 12.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f (x, y) = - 2 y^{2} - (- x y) + 3 x^{3} - x + C$

Etapa 12.3

Multiplique $- (- x y)$ .

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Etapa 12.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (x, y) = - 2 y^{2} + 1 (x y) + 3 x^{3} - x + C$

Etapa 12.3.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$f (x, y) = - 2 y^{2} + x y + 3 x^{3} - x + C$