Cálculo Exemplos

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r θ + r}{r θ + θ}$ , $r (1) = e$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore $r$ de $r θ + r$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Fatore $r$ de $r θ$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ) + r}{r θ + θ}$

Etapa 1.1.2

Eleve $r$ à potência de $1$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ) + r^{1}}{r θ + θ}$

Etapa 1.1.3

Fatore $r$ de $r^{1}$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ) + r \cdot 1}{r θ + θ}$

Etapa 1.1.4

Fatore $r$ de $r (θ) + r \cdot 1$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ + 1)}{r θ + θ}$

Etapa 1.2

Fatore $θ$ de $r θ + θ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Fatore $θ$ de $r θ$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ + 1)}{θ r + θ}$

Etapa 1.2.2

Eleve $θ$ à potência de $1$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ + 1)}{θ r + θ^{1}}$

Etapa 1.2.3

Fatore $θ$ de $θ^{1}$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ + 1)}{θ r + θ \cdot 1}$

Etapa 1.2.4

Fatore $θ$ de $θ r + θ \cdot 1$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ + 1)}{θ (r + 1)}$

Etapa 1.3

Reagrupe os fatores.

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r}{r + 1} \cdot \frac{θ + 1}{θ}$

Etapa 1.4

Multiplique os dois lados por $\frac{r + 1}{r}$ .

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{r + 1}{r} (\frac{r}{r + 1} \cdot \frac{θ + 1}{θ})$

Etapa 1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Multiplique $\frac{r}{r + 1}$ por $\frac{θ + 1}{θ}$ .

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{r + 1}{r} \cdot \frac{r (θ + 1)}{(r + 1) θ}$

Etapa 1.5.2

Cancele o fator comum de $r + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1

Fatore $r + 1$ de $(r + 1) θ$ .

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{r + 1}{r} \cdot \frac{r (θ + 1)}{(r + 1) (θ)}$

Etapa 1.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{r + 1}{r} \cdot \frac{r (θ + 1)}{(r + 1) θ}$

Etapa 1.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{1}{r} \cdot \frac{r (θ + 1)}{θ}$

Etapa 1.5.3

Cancele o fator comum de $r$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{1}{r} \cdot \frac{r (θ + 1)}{θ}$

Etapa 1.5.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{θ + 1}{θ}$

Etapa 1.6

Reescreva a equação.

$\frac{r + 1}{r} d r = \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{r + 1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Divida a fração em diversas frações.

$\int \frac{r}{r} + \frac{1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Etapa 2.2.2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{r}{r} d r + \int \frac{1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Etapa 2.2.3

Cancele o fator comum de $r$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\int \frac{r}{r} d r + \int \frac{1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Etapa 2.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\int d r + \int \frac{1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Etapa 2.2.4

Aplique a regra da constante.

$r + C_{1} + \int \frac{1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Etapa 2.2.5

A integral de $\frac{1}{r}$ com relação a $r$ é $\ln (| r |)$ .

$r + C_{1} + \ln (| r |) + C_{2} = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Etapa 2.2.6

Simplifique.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Divida a fração em diversas frações.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = \int \frac{θ}{θ} + \frac{1}{θ} d θ$

Etapa 2.3.2

Divida a integral única em várias integrais.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = \int \frac{θ}{θ} d θ + \int \frac{1}{θ} d θ$

Etapa 2.3.3

Cancele o fator comum de $θ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Cancele o fator comum.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = \int \frac{θ}{θ} d θ + \int \frac{1}{θ} d θ$

Etapa 2.3.3.2

Reescreva a expressão.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = \int d θ + \int \frac{1}{θ} d θ$

Etapa 2.3.4

Aplique a regra da constante.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = θ + C_{4} + \int \frac{1}{θ} d θ$

Etapa 2.3.5

A integral de $\frac{1}{θ}$ com relação a $θ$ é $\ln (| θ |)$ .

$r + \ln (| r |) + C_{3} = θ + C_{4} + \ln (| θ |) + C_{5}$

Etapa 2.3.6

Simplifique.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = θ + \ln (| θ |) + C_{6}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$r + \ln (| r |) = θ + \ln (| θ |) + C$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $C$ , substituindo $1$ por $θ$ e $e$ por $r$ em $r + \ln (| r |) = θ + \ln (| θ |) + C$ .

$e + \ln (| e |) = 1 + \ln (| 1 |) + C$

Etapa 4

Resolva $C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Reescreva a equação como $1 + \ln (| 1 |) + C = e + \ln (| e |)$ .

$1 + \ln (| 1 |) + C = e + \ln (| e |)$

Etapa 4.2

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| 1 |) - \ln (| e |) = - 1 - C + e$

Etapa 4.3

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 |}{| e |}) = - 1 - C + e$

Etapa 4.4

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\ln (\frac{1}{| e |}) = - 1 - C + e$

Etapa 4.5

$e$ é aproximadamente $2.71828182$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\ln (\frac{1}{e}) = - 1 - C + e$

Etapa 4.6

Reescreva $\frac{1}{e}$ como $1 e^{- 1}$ .

$\ln (1 e^{- 1}) = - 1 - C + e$

Etapa 4.7

Reescreva $\ln (1 e^{- 1})$ como $\ln (1) + \ln (e^{- 1})$ .

$\ln (1) + \ln (e^{- 1}) = - 1 - C + e$

Etapa 4.8

Use as regras logarítmicas para mover $- 1$ para fora do expoente.

$\ln (1) - \ln (e) = - 1 - C + e$

Etapa 4.9

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$\ln (1) - 1 \cdot 1 = - 1 - C + e$

Etapa 4.10

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\ln (1) - 1 = - 1 - C + e$

Etapa 4.11

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$0 - 1 = - 1 - C + e$

Etapa 4.12

Subtraia $1$ de $0$ .

$- 1 = - 1 - C + e$

Etapa 4.13

Como $C$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$- 1 - C + e = - 1$

Etapa 4.14

Mova todos os termos que não contêm $C$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.14.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$- C + e = - 1 + 1$

Etapa 4.14.2

Subtraia $e$ dos dois lados da equação.

$- C = - 1 + 1 - e$

Etapa 4.14.3

Some $- 1$ e $1$ .

$- C = 0 - e$

Etapa 4.14.4

Subtraia $e$ de $0$ .

$- C = - e$

Etapa 4.15

Divida cada termo em $- C = - e$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.15.1

Divida cada termo em $- C = - e$ por $- 1$ .

$\frac{- C}{- 1} = \frac{- e}{- 1}$

Etapa 4.15.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.15.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{C}{1} = \frac{- e}{- 1}$

Etapa 4.15.2.2

Divida $C$ por $1$ .

$C = \frac{- e}{- 1}$

Etapa 4.15.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.15.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$C = \frac{e}{1}$

Etapa 4.15.3.2

Divida $e$ por $1$ .

$C = e$

Etapa 5

Substitua $e$ por $C$ em $r + \ln (| r |) = θ + \ln (| θ |) + C$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua $e$ por $C$ .

$r + \ln (| r |) = θ + \ln (| θ |) + e$