Cálculo Exemplos

$x y y' = x^{2} + 1$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial.

$x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + 1$

Etapa 2

Separe as variáveis.

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Etapa 2.1

Divida cada termo em $x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + 1$ por $x y$ e simplifique.

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Etapa 2.1.1

Divida cada termo em $x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + 1$ por $x y$ .

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{x^{2}}{x y} + \frac{1}{x y}$

Etapa 2.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{x^{2}}{x y} + \frac{1}{x y}$

Etapa 2.1.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{x y} + \frac{1}{x y}$

Etapa 2.1.2.2

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{x y} + \frac{1}{x y}$

Etapa 2.1.2.2.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{x y} + \frac{1}{x y}$

Etapa 2.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x y} + \frac{1}{x y}$

Etapa 2.1.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1.2.1

Fatore $x$ de $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x (y)} + \frac{1}{x y}$

Etapa 2.1.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x y} + \frac{1}{x y}$

Etapa 2.1.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{1}{x y}$

Etapa 2.2

Fatore.

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Etapa 2.2.1

Para escrever $\frac{x}{y}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x y}$

Etapa 2.2.2

Escreva cada expressão com um denominador comum de $y x$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.2.2.1

Multiplique $\frac{x}{y}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{y x} + \frac{1}{x y}$

Etapa 2.2.2.2

Reordene os fatores de $y x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x y} + \frac{1}{x y}$

Etapa 2.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x + 1}{x y}$

Etapa 2.2.4

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{x y}$

Etapa 2.3

Reagrupe os fatores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{x} \cdot \frac{1}{y}$

Etapa 2.4

Multiplique os dois lados por $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{x^{2} + 1}{x} \cdot \frac{1}{y})$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Multiplique $\frac{x^{2} + 1}{x}$ por $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2} + 1}{x y}$

Etapa 2.5.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 2.5.2.1

Fatore $y$ de $x y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2} + 1}{y x}$

Etapa 2.5.2.2

Cancele o fator comum.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2} + 1}{y x}$

Etapa 2.5.2.3

Reescreva a expressão.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{x}$

Etapa 2.6

Reescreva a equação.

$y d y = \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Etapa 3

Integre os dois lados.

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Etapa 3.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Etapa 3.3

Integre o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Divida a fração em diversas frações.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{2}}{x} + \frac{1}{x} d x$

Etapa 3.3.2

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{2}}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 3.3.3

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

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Etapa 3.3.3.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 3.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.3.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 3.3.3.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 3.3.3.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 3.3.3.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 3.3.3.2.5

Divida $x$ por $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x d x + \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 3.3.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 3.3.5

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3}$

Etapa 3.3.6

Simplifique.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C_{4}$

Etapa 3.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C$

Etapa 4

Resolva $y$ .

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Etapa 4.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

Etapa 4.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 4.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Etapa 4.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

Etapa 4.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

Etapa 4.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

Etapa 4.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.2.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$ .

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Etapa 4.2.2.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + \ln (| x |) + C)$

Etapa 4.2.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 \ln (| x |) + 2 C$

Etapa 4.2.2.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 \ln (| x |) + 2 C$

Etapa 4.2.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} = x^{2} + 2 \ln (| x |) + 2 C$

Etapa 4.3

Simplifique $2 \ln (| x |)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$y^{2} = x^{2} + \ln ({| x |}^{2}) + 2 C$

Etapa 4.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{x^{2} + \ln ({| x |}^{2}) + 2 C}$

Etapa 4.5

Remova o valor absoluto em ${| x |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$y = \pm \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

Etapa 4.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 4.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

Etapa 4.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

Etapa 4.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

Etapa 5

Simplifique a constante de integração.

$y = \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + C}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + C}$