Cálculo Exemplos

$(x^{2} - 2 y^{2}) d x + x (y d) y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = x^{2} - 2 y^{2}$ .

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Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} - 2 y^{2}]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 2 y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

Etapa 1.2.2

Como $x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x^{2}$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 2 y^{2}$ em relação a $y$ é $- 2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 (2 y)$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 4 y$

Etapa 1.4

Subtraia $4 y$ de $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 4 y$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = x y$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 2.2

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x y$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 1$

Etapa 2.4

Multiplique $y$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $- 4 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 4 y = y$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$- 4 y = y$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $- 4 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 4 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Etapa 4.2

Substitua $y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 4 y - y}{N}$

Etapa 4.3

Substitua $x y$ por $N$ .

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Etapa 4.3.1

Substitua $x y$ por $N$ .

$\frac{- 4 y - y}{x y}$

Etapa 4.3.2

Subtraia $y$ de $- 4 y$ .

$\frac{- 5 y}{x y}$

Etapa 4.3.3

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 4.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 5 y}{x y}$

Etapa 4.3.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{- 5}{x}$

Etapa 4.3.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{5}{x}$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{5}{x} d x}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int - \frac{5}{x} d x}$ .

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Etapa 5.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{5}{x} d x}$

Etapa 5.2

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- (5 \int \frac{1}{x} d x)}$

Etapa 5.3

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 5 \int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 5.4

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 5 (\ln (| x |) + C)}$

Etapa 5.5

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- 5 \ln (| x |)} + C$

Etapa 5.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.6.1

Simplifique $- 5 \ln (| x |)$ movendo $- 5$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 5})} + C$

Etapa 5.6.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 5} + C$

Etapa 5.6.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{5}} + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $(x^{2} - 2 y^{2}) d x + x y d y = 0$ pelo fator de integração $\frac{1}{x^{5}}$ .

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Etapa 6.1

Multiplique $x^{2} - 2 y^{2}$ por $\frac{1}{x^{5}}$ .

$(x^{2} - 2 y^{2}) \frac{1}{x^{5}} d x + x y d y = 0$

Etapa 6.2

Multiplique $x^{2} - 2 y^{2}$ por $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{x^{2} - 2 y^{2}}{x^{5}} d x + x y d y = 0$

Etapa 6.3

Multiplique $x y$ por $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{x^{2} - 2 y^{2}}{x^{5}} d x + x y \frac{1}{x^{5}} d y = 0$

Etapa 6.4

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 6.4.1

Fatore $x$ de $x y$ .

$\frac{x^{2} - 2 y^{2}}{x^{5}} d x + x (y) \frac{1}{x^{5}} d y = 0$

Etapa 6.4.2

Fatore $x$ de $x^{5}$ .

$\frac{x^{2} - 2 y^{2}}{x^{5}} d x + x (y) \frac{1}{x \cdot x^{4}} d y = 0$

Etapa 6.4.3

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} - 2 y^{2}}{x^{5}} d x + x y \frac{1}{x \cdot x^{4}} d y = 0$

Etapa 6.4.4

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{2} - 2 y^{2}}{x^{5}} d x + y \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

Etapa 6.5

Combine $y$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{x^{2} - 2 y^{2}}{x^{5}} d x + \frac{y}{x^{4}} d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{y}{x^{4}} d y$

Etapa 8

Integre $N (x, y) = \frac{y}{x^{4}}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 8.1

Como $\frac{1}{x^{4}}$ é constante com relação a $y$ , mova $\frac{1}{x^{4}}$ para fora da integral.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{4}} \int y d y$

Etapa 8.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{4}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Etapa 8.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 8.3.1

Reescreva $\frac{1}{x^{4}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ como $\frac{1}{x^{4}} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{4}} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$

Etapa 8.3.2

Simplifique.

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Etapa 8.3.2.1

Multiplique $\frac{1}{x^{4}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{4} \cdot 2} y^{2} + C$

Etapa 8.3.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2 \cdot x^{4}} y^{2} + C$

Etapa 8.3.2.3

Multiplique $2$ por $x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2 x^{4}} y^{2} + C$

Etapa 8.3.2.4

Combine $\frac{1}{2 x^{4}}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2 x^{4}} + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2 x^{4}} + g (x)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x^{2} - 2 y^{2}}{x^{5}}$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2 x^{4}} + g (x)] = \frac{x^{2} - 2 y^{2}}{x^{5}}$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{y^{2}}{2 x^{4}} + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} - 2 y^{2}}{x^{5}}$

Etapa 11.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2 x^{4}}]$ .

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Etapa 11.3.1

Como $\frac{y^{2}}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{y^{2}}{2 x^{4}}$ em relação a $x$ é $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} - 2 y^{2}}{x^{5}}$

Etapa 11.3.2

Reescreva $\frac{1}{x^{4}}$ como ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} - 2 y^{2}}{x^{5}}$

Etapa 11.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{4}$ .

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Etapa 11.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{4}$ .

$\frac{y^{2}}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} - 2 y^{2}}{x^{5}}$

Etapa 11.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} - 2 y^{2}}{x^{5}}$

Etapa 11.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{4}$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} - 2 y^{2}}{x^{5}}$

Etapa 11.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} - 2 y^{2}}{x^{5}}$

Etapa 11.3.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Etapa 11.3.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} - 2 y^{2}}{x^{5}}$

Etapa 11.3.5.2

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- x^{- 8} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} - 2 y^{2}}{x^{5}}$

Etapa 11.3.6

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- 4 x^{- 8} x^{3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} - 2 y^{2}}{x^{5}}$

Etapa 11.3.7

Multiplique $x^{- 8}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 11.3.7.1

Mova $x^{3}$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- 4 (x^{3} x^{- 8})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} - 2 y^{2}}{x^{5}}$

Etapa 11.3.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{y^{2}}{2} (- 4 x^{3 - 8}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} - 2 y^{2}}{x^{5}}$

Etapa 11.3.7.3

Subtraia $8$ de $3$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} - 2 y^{2}}{x^{5}}$

Etapa 11.3.8

Combine $- 4$ e $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{- 4 y^{2}}{2} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} - 2 y^{2}}{x^{5}}$

Etapa 11.3.9

Combine $\frac{- 4 y^{2}}{2}$ e $x^{- 5}$ .

$\frac{- 4 y^{2} x^{- 5}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} - 2 y^{2}}{x^{5}}$

Etapa 11.3.10

Mova $x^{- 5}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 4 y^{2}}{2 x^{5}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} - 2 y^{2}}{x^{5}}$

Etapa 11.3.11

Cancele o fator comum de $- 4$ e $2$ .

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Etapa 11.3.11.1

Fatore $2$ de $- 4 y^{2}$ .

$\frac{2 (- 2 y^{2})}{2 x^{5}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} - 2 y^{2}}{x^{5}}$

Etapa 11.3.11.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 11.3.11.2.1

Fatore $2$ de $2 x^{5}$ .

$\frac{2 (- 2 y^{2})}{2 (x^{5})} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} - 2 y^{2}}{x^{5}}$

Etapa 11.3.11.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- 2 y^{2})}{2 x^{5}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} - 2 y^{2}}{x^{5}}$

Etapa 11.3.11.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 2 y^{2}}{x^{5}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} - 2 y^{2}}{x^{5}}$

Etapa 11.3.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2 y^{2}}{x^{5}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} - 2 y^{2}}{x^{5}}$

Etapa 11.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$- \frac{2 y^{2}}{x^{5}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{2} - 2 y^{2}}{x^{5}}$

Etapa 11.5

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} - \frac{2 y^{2}}{x^{5}} = \frac{x^{2} - 2 y^{2}}{x^{5}}$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 12.1

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 12.1.1

Mova todos os termos que contêm variáveis para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.1

Subtraia $\frac{x^{2} - 2 y^{2}}{x^{5}}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} - \frac{2 y^{2}}{x^{5}} - \frac{x^{2} - 2 y^{2}}{x^{5}} = 0$

Etapa 12.1.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 y^{2} - (x^{2} - 2 y^{2})}{x^{5}} = 0$

Etapa 12.1.1.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.1.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 y^{2} - x^{2} - (- 2 y^{2})}{x^{5}} = 0$

Etapa 12.1.1.3.2

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 y^{2} - x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}} = 0$

Etapa 12.1.1.4

Combine os termos opostos em $- 2 y^{2} - x^{2} + 2 y^{2}$ .

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Etapa 12.1.1.4.1

Some $- 2 y^{2}$ e $2 y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{2} + 0}{x^{5}} = 0$

Etapa 12.1.1.4.2

Some $- x^{2}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{2}}{x^{5}} = 0$

Etapa 12.1.1.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.5.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x^{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.5.1.1

Fatore $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} \cdot - 1}{x^{5}} = 0$

Etapa 12.1.1.5.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.5.1.2.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{5}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} \cdot - 1}{x^{2} x^{3}} = 0$

Etapa 12.1.1.5.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} \cdot - 1}{x^{2} x^{3}} = 0$

Etapa 12.1.1.5.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x^{3}} = 0$

Etapa 12.1.1.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d g}{d x} - \frac{1}{x^{3}} = 0$

Etapa 12.1.2

Some $\frac{1}{x^{3}}$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{3}}$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $\frac{1}{x^{3}}$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{3}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Etapa 13.3

Mova $x^{3}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$g (x) = \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Etapa 13.4

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Etapa 13.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (x) = \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Etapa 13.4.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$g (x) = \int x^{- 3} d x$

Etapa 13.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 3}$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$g (x) = - \frac{1}{2} x^{- 2} + C$

Etapa 13.6

Simplifique a resposta.

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Etapa 13.6.1

Reescreva $- \frac{1}{2} x^{- 2} + C$ como $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C$ .

$g (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C$

Etapa 13.6.2

Simplifique.

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Etapa 13.6.2.1

Multiplique $\frac{1}{x^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = - \frac{1}{x^{2} \cdot 2} + C$

Etapa 13.6.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$g (x) = - \frac{1}{2 \cdot x^{2}} + C$

Etapa 13.6.2.3

Multiplique $2$ por $x^{2}$ .

$g (x) = - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Etapa 14

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = \frac{y^{2}}{2 x^{4}} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2 x^{4}} - \frac{1}{2 x^{2}} + C$