Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x^{3} + 3 x^{2} + 1}{3 y^{2}}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{4 x^{3} + 3 x^{2} + 1}{3 y^{2}}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Fatore $y^{2}$ de $3 y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{4 x^{3} + 3 x^{2} + 1}{y^{2} \cdot 3}$

Etapa 1.2.2

Cancele o fator comum.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{4 x^{3} + 3 x^{2} + 1}{y^{2} \cdot 3}$

Etapa 1.2.3

Reescreva a expressão.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{4 x^{3} + 3 x^{2} + 1}{3}$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$y^{2} d y = \frac{4 x^{3} + 3 x^{2} + 1}{3} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y^{2} d y = \int \frac{4 x^{3} + 3 x^{2} + 1}{3} d x$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{4 x^{3} + 3 x^{2} + 1}{3} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} \int 4 x^{3} + 3 x^{2} + 1 d x$

Etapa 2.3.2

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (\int 4 x^{3} d x + \int 3 x^{2} d x + \int d x)$

Etapa 2.3.3

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (4 \int x^{3} d x + \int 3 x^{2} d x + \int d x)$

Etapa 2.3.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + \int 3 x^{2} d x + \int d x)$

Etapa 2.3.5

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + 3 \int x^{2} d x + \int d x)$

Etapa 2.3.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + \int d x)$

Etapa 2.3.7

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + x + C_{4})$

Etapa 2.3.8

Simplifique.

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Etapa 2.3.8.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.8.1.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) + 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + x + C_{4})$

Etapa 2.3.8.1.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{3}) + x + C_{4})$

Etapa 2.3.8.2

Simplifique.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (x^{4} + x^{3} + x) + C_{5}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{3} (x^{4} + x^{3} + x) + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{3} (x^{4} + x^{3} + x) + K)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Simplifique $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{3} (x^{4} + x^{3} + x) + K)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{3} (x^{4} + x^{3} + x) + K)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{3} (x^{4} + x^{3} + x) + K)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique $3 (\frac{1}{3} (x^{4} + x^{3} + x) + K)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{3} x + K)$

Etapa 3.2.2.1.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1.2.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{4}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{x^{4}}{3} + \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{3} x + K)$

Etapa 3.2.2.1.1.2.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{x^{4}}{3} + \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{3} x + K)$

Etapa 3.2.2.1.1.2.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $x$ .

$y^{3} = 3 (\frac{x^{4}}{3} + \frac{x^{3}}{3} + \frac{x}{3} + K)$

Etapa 3.2.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{3} = 3 \frac{x^{4}}{3} + 3 \frac{x^{3}}{3} + 3 \frac{x}{3} + 3 K$

Etapa 3.2.2.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.3.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.3.1.1

Cancele o fator comum.

$y^{3} = 3 \frac{x^{4}}{3} + 3 \frac{x^{3}}{3} + 3 \frac{x}{3} + 3 K$

Etapa 3.2.2.1.3.1.2

Reescreva a expressão.

$y^{3} = x^{4} + 3 \frac{x^{3}}{3} + 3 \frac{x}{3} + 3 K$

Etapa 3.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$y^{3} = x^{4} + 3 \frac{x^{3}}{3} + 3 \frac{x}{3} + 3 K$

Etapa 3.2.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{3} = x^{4} + x^{3} + 3 \frac{x}{3} + 3 K$

Etapa 3.2.2.1.3.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.3.3.1

Cancele o fator comum.

$y^{3} = x^{4} + x^{3} + 3 \frac{x}{3} + 3 K$

Etapa 3.2.2.1.3.3.2

Reescreva a expressão.

$y^{3} = x^{4} + x^{3} + x + 3 K$

Etapa 3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \sqrt[3]{x^{4} + x^{3} + x + 3 K}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \sqrt[3]{x^{4} + x^{3} + x + K}$