Cálculo Exemplos

$3 x y d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = 3 x y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x y]$

Etapa 1.2

Como $3 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $3 x y$ em relação a $y$ é $3 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x \cdot 1$

Etapa 1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = x^{2} + y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 2.4

Como $y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 0$

Etapa 2.5

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $3 x$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2 x$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 x = 2 x$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$3 x = 2 x$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $2 x$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Etapa 4.2

Substitua $3 x$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 x - (3 x)}{M}$

Etapa 4.3

Substitua $3 x y$ por $M$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua $3 x y$ por $M$ .

$\frac{2 x - (3 x)}{3 x y}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Fatore $x$ de $2 x - 1 \cdot 3 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Fatore $x$ de $2 x$ .

$\frac{x \cdot 2 - 1 \cdot 3 x}{3 x y}$

Etapa 4.3.2.1.2

Fatore $x$ de $- 1 \cdot 3 x$ .

$\frac{x \cdot 2 + x (- 1 \cdot 3)}{3 x y}$

Etapa 4.3.2.1.3

Fatore $x$ de $x \cdot 2 + x (- 1 \cdot 3)$ .

$\frac{x (2 - 1 \cdot 3)}{3 x y}$

Etapa 4.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{x (2 - 3)}{3 x y}$

Etapa 4.3.2.3

Subtraia $3$ de $2$ .

$\frac{x \cdot - 1}{3 x y}$

Etapa 4.3.3

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \cdot - 1}{3 x y}$

Etapa 4.3.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{3 y}$

Etapa 4.3.4

Substitua $3 x y$ por $M$ .

$- \frac{1}{3 y}$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{3 y} d y}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int - \frac{1}{3 y} d y}$ .

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Etapa 5.1

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{3 y} d y}$

Etapa 5.2

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $y$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- (\frac{1}{3} \int \frac{1}{y} d y)}$

Etapa 5.3

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- \frac{1}{3} (\ln (| y |) + C)}$

Etapa 5.4

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- \frac{1}{3} \ln (| y |)} + C$

Etapa 5.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.5.1

Multiplique $- \frac{1}{3} \ln (| y |)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1.1

Reordene $\ln (| y |)$ e $\frac{1}{3}$ .

$μ (x, y) = e^{- (\frac{1}{3} \ln (| y |))} + C$

Etapa 5.5.1.2

Simplifique $\frac{1}{3} \ln (| y |)$ movendo $\frac{1}{3}$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{- \ln ({| y |}^{\frac{1}{3}})} + C$

Etapa 5.5.2

Simplifique $- \ln ({| y |}^{\frac{1}{3}})$ movendo $- 1$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({({| y |}^{\frac{1}{3}})}^{- 1})} + C$

Etapa 5.5.3

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {({| y |}^{\frac{1}{3}})}^{- 1} + C$

Etapa 5.5.4

Multiplique os expoentes em ${({| y |}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Etapa 5.5.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$μ (x, y) = {| y |}^{\frac{1}{3} \cdot - 1} + C$

Etapa 5.5.4.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$μ (x, y) = {| y |}^{\frac{- 1}{3}} + C$

Etapa 5.5.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$μ (x, y) = {| y |}^{- \frac{1}{3}} + C$

Etapa 5.5.5

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{\frac{1}{3}}} + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $3 x y d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$ pelo fator de integração $\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}}$ .

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Etapa 6.1

Multiplique $3 x y$ por $\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}}$ .

$3 x y \frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Etapa 6.2

Multiplique $3 x y \frac{1}{y^{\frac{1}{3}}}$ .

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Etapa 6.2.1

Combine $3$ e $\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}}$ .

$x y \frac{3}{y^{\frac{1}{3}}} d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Etapa 6.2.2

Combine $x$ e $\frac{3}{y^{\frac{1}{3}}}$ .

$y \frac{x \cdot 3}{y^{\frac{1}{3}}} d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Etapa 6.2.3

Combine $y$ e $\frac{x \cdot 3}{y^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{y (x \cdot 3)}{y^{\frac{1}{3}}} d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Etapa 6.3

Mova $y^{\frac{1}{3}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$y (x \cdot 3) y^{- \frac{1}{3}} d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Etapa 6.4

Multiplique $y$ por $y^{- \frac{1}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.4.1

Mova $y^{- \frac{1}{3}}$ .

$y^{- \frac{1}{3}} y (x \cdot 3) d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Etapa 6.4.2

Multiplique $y^{- \frac{1}{3}}$ por $y$ .

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Etapa 6.4.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$y^{- \frac{1}{3}} y^{1} (x \cdot 3) d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Etapa 6.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y^{- \frac{1}{3} + 1} (x \cdot 3) d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Etapa 6.4.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$y^{- \frac{1}{3} + \frac{3}{3}} (x \cdot 3) d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Etapa 6.4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y^{\frac{- 1 + 3}{3}} (x \cdot 3) d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Etapa 6.4.5

Some $- 1$ e $3$ .

$y^{\frac{2}{3}} (x \cdot 3) d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Etapa 6.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$3 y^{\frac{2}{3}} x d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Etapa 6.6

Reordene os fatores em $3 y^{\frac{2}{3}} x$ .

$3 x y^{\frac{2}{3}} d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Etapa 6.7

Multiplique $x^{2} + y^{2}$ por $\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}}$ .

$3 x y^{\frac{2}{3}} d x + (x^{2} + y^{2}) \frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} d y = 0$

Etapa 6.8

Multiplique $x^{2} + y^{2}$ por $\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}}$ .

$3 x y^{\frac{2}{3}} d x + \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}} d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 x y^{\frac{2}{3}} d x$

Etapa 8

Integre $M (x, y) = 3 x y^{\frac{2}{3}}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 8.1

Como $3 y^{\frac{2}{3}}$ é constante com relação a $x$ , mova $3 y^{\frac{2}{3}}$ para fora da integral.

$f (x, y) = 3 y^{\frac{2}{3}} \int x d x$

Etapa 8.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 3 y^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 8.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 8.3.1

Reescreva $3 y^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $3 y^{\frac{2}{3}} \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$f (x, y) = 3 y^{\frac{2}{3}} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 8.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1

Combine $3$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = y^{\frac{2}{3}} \frac{3}{2} x^{2} + C$

Etapa 8.3.2.2

Combine $y^{\frac{2}{3}}$ e $\frac{3}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{\frac{2}{3}} \cdot 3}{2} x^{2} + C$

Etapa 8.3.2.3

Mova $3$ para a esquerda de $y^{\frac{2}{3}}$ .

$f (x, y) = \frac{3 \cdot y^{\frac{2}{3}}}{2} x^{2} + C$

Etapa 8.3.2.4

Multiplique $3$ por $y^{\frac{2}{3}}$ .

$f (x, y) = \frac{3 y^{\frac{2}{3}}}{2} x^{2} + C$

Etapa 8.3.2.5

Combine $\frac{3 y^{\frac{2}{3}}}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{3 y^{\frac{2}{3}} x^{2}}{2} + C$

Etapa 8.3.3

Reordene os termos.

$f (x, y) = \frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} x^{2} + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} x^{2} + g (y)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} x^{2} + g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} x^{2} + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 11.3

Avalie $\frac{d}{d y} [\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} x^{2}]$ .

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Etapa 11.3.1

Combine $\frac{3}{2}$ e $y^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{3 y^{\frac{2}{3}}}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 11.3.2

Combine $\frac{3 y^{\frac{2}{3}}}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{3 y^{\frac{2}{3}} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 11.3.3

Como $\frac{3 x^{2}}{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{3 y^{\frac{2}{3}} x^{2}}{2}$ em relação a $y$ é $\frac{3 x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 11.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} (\frac{2}{3} y^{\frac{2}{3} - 1}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 11.3.5

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} (\frac{2}{3} y^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 11.3.6

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} (\frac{2}{3} y^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 11.3.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3 x^{2}}{2} (\frac{2}{3} y^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 11.3.8

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.8.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} (\frac{2}{3} y^{\frac{2 - 3}{3}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 11.3.8.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} (\frac{2}{3} y^{\frac{- 1}{3}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 11.3.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{3 x^{2}}{2} (\frac{2}{3} y^{- \frac{1}{3}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 11.3.10

Combine $\frac{2}{3}$ e $y^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} \cdot \frac{2 y^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 11.3.11

Multiplique $\frac{3 x^{2}}{2}$ por $\frac{2 y^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{3 x^{2} (2 y^{- \frac{1}{3}})}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 11.3.12

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{6 x^{2} y^{- \frac{1}{3}}}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 11.3.13

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{6 x^{2} y^{- \frac{1}{3}}}{6} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 11.3.14

Mova $y^{- \frac{1}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{6 x^{2}}{6 y^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 11.3.15

Cancele o fator comum.

$\frac{6 x^{2}}{6 y^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 11.3.16

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{2}}{y^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 11.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{x^{2}}{y^{\frac{1}{3}}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 11.5

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{2}}{y^{\frac{1}{3}}} = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1

Simplifique $\frac{d g}{d y} + \frac{x^{2}}{y^{\frac{1}{3}}} - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.1

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.1.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{2} - (x^{2} + y^{2})}{y^{\frac{1}{3}}} = 0$

Etapa 12.1.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{2} - x^{2} - y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}} = 0$

Etapa 12.1.1.1.3

Subtraia $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 - y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}} = 0$

Etapa 12.1.1.1.4

Subtraia $y^{2}$ de $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}} = 0$

Etapa 12.1.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.2.1

Mova $y^{\frac{1}{3}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{d g}{d y} - y^{2} y^{- \frac{1}{3}} = 0$

Etapa 12.1.1.2.2

Multiplique $y^{2}$ por $y^{- \frac{1}{3}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.2.2.1

Mova $y^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{d g}{d y} - (y^{- \frac{1}{3}} y^{2}) = 0$

Etapa 12.1.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d g}{d y} - y^{- \frac{1}{3} + 2} = 0$

Etapa 12.1.1.2.2.3

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{d g}{d y} - y^{- \frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}} = 0$

Etapa 12.1.1.2.2.4

Combine $2$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{d g}{d y} - y^{- \frac{1}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}} = 0$

Etapa 12.1.1.2.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d g}{d y} - y^{\frac{- 1 + 2 \cdot 3}{3}} = 0$

Etapa 12.1.1.2.2.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.2.2.6.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{d g}{d y} - y^{\frac{- 1 + 6}{3}} = 0$

Etapa 12.1.1.2.2.6.2

Some $- 1$ e $6$ .

$\frac{d g}{d y} - y^{\frac{5}{3}} = 0$

Etapa 12.1.2

Some $y^{\frac{5}{3}}$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} = y^{\frac{5}{3}}$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $y^{\frac{5}{3}}$ para encontrar $g (y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = y^{\frac{5}{3}}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y^{\frac{5}{3}} d y$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y^{\frac{5}{3}} d y$

Etapa 13.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{\frac{5}{3}}$ com relação a $y$ é $\frac{3}{8} y^{\frac{8}{3}}$ .

$g (y) = \frac{3}{8} y^{\frac{8}{3}} + C$

Etapa 14

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = \frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} x^{2} + \frac{3}{8} y^{\frac{8}{3}} + C$

Etapa 15

Simplifique $f (x, y) = \frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} x^{2} + \frac{3}{8} y^{\frac{8}{3}} + C$ .

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Etapa 15.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.1.1

Combine $\frac{3}{2}$ e $y^{\frac{2}{3}}$ .

$f (x, y) = \frac{3 y^{\frac{2}{3}}}{2} x^{2} + \frac{3}{8} y^{\frac{8}{3}} + C$

Etapa 15.1.2

Combine $\frac{3 y^{\frac{2}{3}}}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{3 y^{\frac{2}{3}} x^{2}}{2} + \frac{3}{8} y^{\frac{8}{3}} + C$

Etapa 15.1.3

Combine $\frac{3}{8}$ e $y^{\frac{8}{3}}$ .

$f (x, y) = \frac{3 y^{\frac{2}{3}} x^{2}}{2} + \frac{3 y^{\frac{8}{3}}}{8} + C$

Etapa 15.2

Reordene os fatores em $f (x, y) = \frac{3 y^{\frac{2}{3}} x^{2}}{2} + \frac{3 y^{\frac{8}{3}}}{8} + C$ .

$f (x, y) = \frac{3 x^{2} y^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{3 y^{\frac{8}{3}}}{8} + C$