Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x)}{x y}$ , $y (1) = 2$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Reagrupe os fatores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x)}{x} \cdot \frac{1}{y}$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{\ln (x)}{x} \cdot \frac{1}{y})$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Multiplique $\frac{\ln (x)}{x}$ por $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{\ln (x)}{x y}$

Etapa 1.3.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 1.3.2.1

Fatore $y$ de $x y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{\ln (x)}{y x}$

Etapa 1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{\ln (x)}{y x}$

Etapa 1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x)}{x}$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$y d y = \frac{\ln (x)}{x} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y d y = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Deixe $u = \ln (x)$ . Depois, $d u = \frac{1}{x} d x$ , então, $x d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.1.1

Deixe $u = \ln (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.3.1.1.1

Diferencie $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 2.3.1.1.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int u d u$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u$ com relação a $u$ é $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} u^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\ln (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + K)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + K)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + K)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + K)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + K)$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\ln^{2} (x)$ .

$y^{2} = 2 (\frac{\ln^{2} (x)}{2} + K)$

Etapa 3.2.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} = 2 \frac{\ln^{2} (x)}{2} + 2 K$

Etapa 3.2.2.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$y^{2} = 2 \frac{\ln^{2} (x)}{2} + 2 K$

Etapa 3.2.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} = \ln^{2} (x) + 2 K$

Etapa 3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

Etapa 3.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

Etapa 3.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

Etapa 3.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

$y = - \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

$y = \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

$y = - \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

$y = \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

$y = - \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \sqrt{\ln^{2} (x) + K}$

$y = - \sqrt{\ln^{2} (x) + K}$

Etapa 5

Como $y$ é positivo na condição inicial $(1, 2)$ , considere apenas $y = \sqrt{\ln^{2} (x) + K}$ para encontrar $K$ . Substitua $1$ por $x$ e $2$ por $y$ .

$2 = \sqrt{\ln^{2} (1) + K}$

Etapa 6

Resolva $K$ .

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Etapa 6.1

Reescreva a equação como $\sqrt{\ln^{2} (1) + K} = 2$ .

$\sqrt{\ln^{2} (1) + K} = 2$

Etapa 6.2

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{\ln^{2} (1) + K}}^{2} = 2^{2}$

Etapa 6.3

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 6.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{\ln^{2} (1) + K}$ como ${(\ln^{2} (1) + K)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(\ln^{2} (1) + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 2^{2}$

Etapa 6.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.3.2.1

Simplifique ${({(\ln^{2} (1) + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 6.3.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(\ln^{2} (1) + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 6.3.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\ln^{2} (1) + K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

Etapa 6.3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(\ln^{2} (1) + K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

Etapa 6.3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(\ln^{2} (1) + K)}^{1} = 2^{2}$

Etapa 6.3.2.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.3.2.1.2.1

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

${(0^{2} + K)}^{1} = 2^{2}$

Etapa 6.3.2.1.2.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

${(0 + K)}^{1} = 2^{2}$

Etapa 6.3.2.1.3

Simplifique somando os zeros.

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Etapa 6.3.2.1.3.1

Some $0$ e $K$ .

$K^{1} = 2^{2}$

Etapa 6.3.2.1.3.2

Simplifique.

$K = 2^{2}$

Etapa 6.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.3.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$K = 4$

Etapa 7

Substitua $4$ por $K$ em $y = \sqrt{\ln^{2} (x) + K}$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Substitua $4$ por $K$ .

$y = \sqrt{\ln^{2} (x) + 4}$