Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = x y + x^{2}$

Etapa 1

Subtraia $x y$ dos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d x} - x y = x^{2}$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int - x d x}$

Etapa 2.2

Integre $- x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{- \int x d x}$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{- (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Etapa 2.2.3

Reescreva $- (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $- \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$e^{- \frac{1}{2} x^{2} + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{- \frac{1}{2} x^{2}}$

Etapa 2.4

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- x y) = e^{- \frac{x^{2}}{2}} x^{2}$

Etapa 3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} - e^{- \frac{x^{2}}{2}} (x y) = e^{- \frac{x^{2}}{2}} x^{2}$

Etapa 3.3

Reordene os fatores em $e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} - e^{- \frac{x^{2}}{2}} (x y) = e^{- \frac{x^{2}}{2}} x^{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} - x y e^{- \frac{x^{2}}{2}} = x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{2}} y] = x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{2}} y] d x = \int x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = \int x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$

Etapa 7

Integre o lado direito.

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Etapa 7.1

Deixe $u_{1} = - \frac{x^{2}}{2}$ . Depois, $d u_{1} = - x d x$ , então, $- \frac{1}{x} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 7.1.1

Deixe $u_{1} = - \frac{x^{2}}{2}$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 7.1.1.1

Diferencie $- \frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

Etapa 7.1.1.2

Como $- \frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{x^{2}}{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 7.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- \frac{1}{2} (2 x)$

Etapa 7.1.1.4

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 (\frac{1}{2}) x$

Etapa 7.1.1.4.2

Combine $- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 2}{2} x$

Etapa 7.1.1.4.3

Combine $\frac{- 2}{2}$ e $x$ .

$\frac{- 2 x}{2}$

Etapa 7.1.1.4.4

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.4.4.1

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x)}{2}$

Etapa 7.1.1.4.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.4.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (- x)}{2 (1)}$

Etapa 7.1.1.4.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- x)}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.1.4.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- x}{1}$

Etapa 7.1.1.4.4.2.4

Divida $- x$ por $1$ .

$- x$

Etapa 7.1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = \int - \sqrt{- 2 u_{1}} e^{u_{1}} d u_{1}$

Etapa 7.2

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - \int \sqrt{- 2 u_{1}} e^{u_{1}} d u_{1}$

Etapa 7.3

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = e^{u_{1}}$ e $d v = \sqrt{- 2 u_{1}}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (e^{u_{1}} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Etapa 7.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $\frac{1}{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (e^{u_{1}} (- \frac{2}{3 \cdot 2} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Etapa 7.4.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (e^{u_{1}} (- \frac{2}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Etapa 7.4.3

Cancele o fator comum de $2$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.3.1

Fatore $2$ de $2$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (e^{u_{1}} (- \frac{2 (1)}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Etapa 7.4.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.3.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (e^{u_{1}} (- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Etapa 7.4.3.2.2

Cancele o fator comum.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (e^{u_{1}} (- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Etapa 7.4.3.2.3

Reescreva a expressão.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (e^{u_{1}} (- \frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Etapa 7.4.4

Combine ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ e $\frac{1}{3}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (e^{u_{1}} (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}) - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Etapa 7.4.5

Combine $e^{u_{1}}$ e $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Etapa 7.4.6

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $\frac{1}{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2}{3 \cdot 2} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Etapa 7.4.7

Multiplique $3$ por $2$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Etapa 7.4.8

Cancele o fator comum de $2$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.8.1

Fatore $2$ de $2$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2 (1)}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Etapa 7.4.8.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.8.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Etapa 7.4.8.2.2

Cancele o fator comum.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Etapa 7.4.8.2.3

Reescreva a expressão.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Etapa 7.4.9

Combine ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ e $\frac{1}{3}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} e^{u_{1}} d u_{1})$

Etapa 7.4.10

Combine $e^{u_{1}}$ e $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

Etapa 7.5

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - - \int \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

Etapa 7.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.6.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + 1 \int \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

Etapa 7.6.2

Multiplique $\int \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1}$ por $1$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \int \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

Etapa 7.7

Como $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ para fora da integral.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

Etapa 7.8

A integral de $e^{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $e^{u_{1}}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (e^{u_{1}} + C))$

Etapa 7.9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.9.1

Reescreva $- (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (e^{u_{1}} + C))$ como $- (- \frac{1}{3} e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{1}{3} e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

Etapa 7.9.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.9.2.1

Combine $e^{u_{1}}$ e $\frac{1}{3}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}}}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

Etapa 7.9.2.2

Combine ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ e $\frac{e^{u_{1}}}{3}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

Etapa 7.9.2.3

Combine $\frac{1}{3}$ e ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3} + \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} e^{u_{1}}) + C$

Etapa 7.9.2.4

Combine $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ e $e^{u_{1}}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3} + \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3}) + C$

Etapa 7.9.2.5

Some $- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3}$ e $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - 0 + C$

Etapa 7.9.2.6

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = 0 + C$

Etapa 7.9.2.7

Some $0$ e $C$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = C$

Etapa 8

Divida cada termo em $e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = C$ por $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Divida cada termo em $e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = C$ por $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$\frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}} y}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}} = \frac{C}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}} y}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}} = \frac{C}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{C}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}$