Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = 2 + \sqrt{x}$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore $y$ de $- \frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{1}{x}) = 2 + \sqrt{x}$

Etapa 1.2

Reordene $y$ e $- \frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} y = 2 + \sqrt{x}$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = - \frac{1}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Etapa 2.2

Integre $- \frac{1}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 2.2.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Etapa 2.2.3

Simplifique.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{- \ln (x)}$

Etapa 2.4

Use a regra da multiplicação de potências logarítmica.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Etapa 2.5

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$x^{- 1}$

Etapa 2.6

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $\frac{1}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot 2 + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Combine $\frac{1}{x}$ e $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot 2 + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

Etapa 3.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot 2 + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

Etapa 3.2.3

Combine $\frac{1}{x}$ e $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} \cdot 2 + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

Etapa 3.2.4

Multiplique $- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.1

Multiplique $\frac{y}{x}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} \cdot 2 + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

Etapa 3.2.4.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} \cdot 2 + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

Etapa 3.2.4.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} \cdot 2 + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

Etapa 3.2.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} \cdot 2 + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

Etapa 3.2.4.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} \cdot 2 + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

Etapa 3.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Combine $\frac{1}{x}$ e $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{2}{x} + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

Etapa 3.3.2

Combine $\frac{1}{x}$ e $\sqrt{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{2}{x} + \frac{\sqrt{x}}{x}$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = \frac{2}{x} + \frac{\sqrt{x}}{x}$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int \frac{2}{x} + \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$\frac{1}{x} y = \int \frac{2}{x} + \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Etapa 7

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{x} y = \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Etapa 7.2

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$\frac{1}{x} y = 2 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Etapa 7.3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Etapa 7.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} d x$

Etapa 7.4.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.1

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Etapa 7.4.2.2

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.2.1

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.2.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Etapa 7.4.2.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x$

Etapa 7.4.2.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

Etapa 7.4.2.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x$

Etapa 7.4.2.2.4

Subtraia $1$ de $2$ .

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Etapa 7.4.3

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.3.1

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Etapa 7.4.3.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Etapa 7.4.3.2.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Etapa 7.4.3.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 7.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 7.6

Simplifique.

$\frac{1}{x} y = 2 \ln (| x |) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 8

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Combine $\frac{1}{x}$ e $y$ .

$\frac{y}{x} = 2 \ln (| x |) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 8.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique $2 \ln (| x |)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\frac{y}{x} = \ln ({| x |}^{2}) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 8.2.2

Remova o valor absoluto em ${| x |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$\frac{y}{x} = \ln (x^{2}) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 8.3

Multiplique os dois lados por $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\ln (x^{2}) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C) x$

Etapa 8.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.1.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{x} x = (\ln (x^{2}) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C) x$

Etapa 8.4.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y = (\ln (x^{2}) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C) x$

Etapa 8.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.2.1

Simplifique $(\ln (x^{2}) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C) x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \ln (x^{2}) x + 2 x^{\frac{1}{2}} x + C x$

Etapa 8.4.2.1.2

Multiplique $x^{\frac{1}{2}}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.2.1.2.1

Mova $x$ .

$y = \ln (x^{2}) x + 2 (x \cdot x^{\frac{1}{2}}) + C x$

Etapa 8.4.2.1.2.2

Multiplique $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.2.1.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y = \ln (x^{2}) x + 2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}}) + C x$

Etapa 8.4.2.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \ln (x^{2}) x + 2 x^{1 + \frac{1}{2}} + C x$

Etapa 8.4.2.1.2.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$y = \ln (x^{2}) x + 2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + C x$

Etapa 8.4.2.1.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \ln (x^{2}) x + 2 x^{\frac{2 + 1}{2}} + C x$

Etapa 8.4.2.1.2.5

Some $2$ e $1$ .

$y = \ln (x^{2}) x + 2 x^{\frac{3}{2}} + C x$

Etapa 8.4.2.1.3

Reordene os fatores em $\ln (x^{2}) x + 2 x^{\frac{3}{2}} + C x$ .

$y = x \ln (x^{2}) + 2 x^{\frac{3}{2}} + C x$

Etapa 8.4.2.1.4

Mova $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$y = x \ln (x^{2}) + C x + 2 x^{\frac{3}{2}}$

Etapa 8.4.2.1.5

Reordene $x \ln (x^{2})$ e $C x$ .

$y = C x + x \ln (x^{2}) + 2 x^{\frac{3}{2}}$