Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = 8 x^{3} y - 8 x y$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Fatore $8 x y$ de $8 x^{3} y - 8 x y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Fatore $8 x y$ de $8 x^{3} y$ .

$\frac{d y}{d x} = 8 x y (x^{2}) - 8 x y$

Etapa 1.1.1.2

Fatore $8 x y$ de $- 8 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = 8 x y (x^{2}) + 8 x y (- 1)$

Etapa 1.1.1.3

Fatore $8 x y$ de $8 x y (x^{2}) + 8 x y (- 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = 8 x y (x^{2} - 1)$

Etapa 1.1.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = 8 x y (x^{2} - 1^{2})$

Etapa 1.1.3

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{d y}{d x} = 8 x y ((x + 1) (x - 1))$

Etapa 1.1.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$\frac{d y}{d x} = 8 x y (x + 1) (x - 1)$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (8 x y (x + 1) (x - 1))$

Etapa 1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{1}{y} (x y (x + 1) (x - 1))$

Etapa 1.3.2

Combine $8$ e $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{8}{y} (x y (x + 1) (x - 1))$

Etapa 1.3.3

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 1.3.3.1

Fatore $y$ de $x y (x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{8}{y} (y ((x (x + 1)) (x - 1)))$

Etapa 1.3.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{8}{y} (y ((x (x + 1)) (x - 1)))$

Etapa 1.3.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 ((x (x + 1)) (x - 1))$

Etapa 1.3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 ((x \cdot x + x \cdot 1) (x - 1))$

Etapa 1.3.5

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 ((x^{2} + x \cdot 1) (x - 1))$

Etapa 1.3.6

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 ((x^{2} + x) (x - 1))$

Etapa 1.3.7

Expanda $(x^{2} + x) (x - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.3.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{2} (x - 1) + x (x - 1))$

Etapa 1.3.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + x (x - 1))$

Etapa 1.3.7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1)$

Etapa 1.3.8

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.3.8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.8.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.3.8.1.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 1.3.8.1.1.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1)$

Etapa 1.3.8.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1)$

Etapa 1.3.8.1.1.2

Some $2$ e $1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1)$

Etapa 1.3.8.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} - 1 \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 1)$

Etapa 1.3.8.1.3

Reescreva $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} - x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 1)$

Etapa 1.3.8.1.4

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} - x^{2} + x^{2} + x \cdot - 1)$

Etapa 1.3.8.1.5

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} - x^{2} + x^{2} - 1 \cdot x)$

Etapa 1.3.8.1.6

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} - x^{2} + x^{2} - x)$

Etapa 1.3.8.2

Some $- x^{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} + 0 - x)$

Etapa 1.3.8.3

Some $x^{3}$ e $0$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} - x)$

Etapa 1.3.9

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 x^{3} + 8 (- x)$

Etapa 1.3.10

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 x^{3} - 8 x$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y} d y = (8 x^{3} - 8 x) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 8 x^{3} - 8 x d x$

Etapa 2.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 8 x^{3} - 8 x d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 8 x^{3} d x + \int - 8 x d x$

Etapa 2.3.2

Como $8$ é constante com relação a $x$ , mova $8$ para fora da integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 \int x^{3} d x + \int - 8 x d x$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + \int - 8 x d x$

Etapa 2.3.4

Como $- 8$ é constante com relação a $x$ , mova $- 8$ para fora da integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 8 \int x d x$

Etapa 2.3.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 8 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Etapa 2.3.6

Simplifique.

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Etapa 2.3.6.1

Simplifique.

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 (\frac{1}{4}) x^{4} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.6.2.1

Combine $8$ e $\frac{1}{4}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{8}{4} x^{4} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2.2

Cancele o fator comum de $8$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.2.2.1

Fatore $4$ de $8$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4 \cdot 2}{4} x^{4} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.2.2.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4 \cdot 2}{4 (1)} x^{4} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1} x^{4} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{1} x^{4} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2.2.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{4} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2.3

Combine $- 8$ e $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{4} + \frac{- 8}{2} x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2.4

Cancele o fator comum de $- 8$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.2.4.1

Fatore $2$ de $- 8$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{4} + \frac{2 \cdot - 4}{2} x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.2.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{4} + \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{4} + \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{4} + \frac{- 4}{1} x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2.4.2.4

Divida $- 4$ por $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{4} - 4 x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y |) = 2 x^{4} - 4 x^{2} + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| y |)} = e^{2 x^{4} - 4 x^{2} + C}$

Etapa 3.2

Reescreva $\ln (| y |) = 2 x^{4} - 4 x^{2} + C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2 x^{4} - 4 x^{2} + C} = | y |$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $| y | = e^{2 x^{4} - 4 x^{2} + C}$ .

$| y | = e^{2 x^{4} - 4 x^{2} + C}$

Etapa 3.3.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{2 x^{4} - 4 x^{2} + C}$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Reescreva $e^{2 x^{4} - 4 x^{2} + C}$ como $e^{2 x^{4} - 4 x^{2}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{2 x^{4} - 4 x^{2}} e^{C}$

Etapa 4.2

Reordene $e^{2 x^{4} - 4 x^{2}}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{2 x^{4} - 4 x^{2}}$

Etapa 4.3

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = C e^{2 x^{4} - 4 x^{2}}$